Автор Тема: Физический смысл бинома Ньютона  (Прочитано 335 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн ingref

  • Пользователь
  • Сообщений: 2
    • Просмотр профиля
Физический смысл бинома Ньютона
« : Март 29, 2017, 02:15:28 pm »
Не могу найти, где бы почитать про физический смысл бинома Ньютона. Неужели никто не попытался этот смысл описать?

У меня есть одно предположение. В разложенном виде в биноме всегда присутствует первое слагаемое в степени n и второе слагаемое в степени n - получается, что сам бином является суммой исходных слагаемых, каждое из которых возведено в n, но к этому ещё прибавляются дополнительные слагаемые.

Получается, что для описания физического смысла бинома, достаточно описать физический смысл этих дополнительных слагаемых, потому что всё остальное - это исходные слагаемые в степени n.

Возьмём случай с n=2. Если бы не было слагаемого 2ab, то бином выглядел бы так:

(a+b)^2 = a^2 + b^2

И тогда его физический смысл был бы предельно ясен - большой квадрат равен сумме маленьких квадратов, сумма сторон которых равна стороне большого квадрата. Удивительно, что это не так!

Значит, чтобы построить 2 маленьких квадрата, нужно затратить больше ресурсов, чем для построения 1-го большого квадрата. Получается, что 2ab - это и есть тот самый ресурс, который необходимо затратить. Другими словами, при построении каждого квадрата в отдельности теряется энергия величиной 2ab:

a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab

То есть, бином Ньютона показывает, что:

1) для построения фигуры в пространстве более высокой степени, нужно затратить больше энергии;
2) построение одной большой фигуры выгоднее, чем построение нескольких маленьких, которые имеют размер, равный размеру большой фигуры в пространстве менее высокой степени.

Например, если взять 2 отрезка a и b, то они будут равны отрезку a+b. Если же превратить их в квадраты aa и bb, то их площадь будет меньше, чем у квадрата (a+b)(a+b), а периметры останутся равными. То есть, одни и те же фигуры в 1-мерном пространстве равны, а в 2-мерном пространстве перестают быть равны.

Можно привести более реальный пример. Например, у нас есть мешок с деньгами, которые нужно потратить на строительство города. Мы можем потратить деньги разными способами:

1) построить "китайскую стену" и больше ничего (1-мерный объект);
2) построить замкнутую стену, периметр которой будет меньше, чем у "китайской стены", и больше ничего (2-мерный объект);
3) построить крепость, сторона которой будет меньше, чем у замкнутой стены, и больше ничего (3-мерный объект);

В то же время, можно вместо "больше ничего" что-то построить, но тогда придётся затратить дополнительный ресурс. Это и есть тот самый 2ab для 2-мерного объекта - чем больше мы будем строить 2-мерных объектов, тем менее выгодным будет строительство.

Или другой пример - если 2 человека хотят построить себе дом, то выгоднее построить 1 дом на двоих, чем каждому из них по дому. А разница в ресурсозатратах для 2-мерного случая будет 2ab.

Вот такое получилось сумбурное описание физического смысла. Буду благодарен, если кто-нибудь даст мне ссылку на нормальное определение физического смысла (если такое существует). Если же такого до меня никто не писал, то предлагаю обсудить моё определение.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Физический смысл бинома Ньютона
« Ответ #1 : Март 29, 2017, 03:54:35 pm »
(a+b)^2 = a^2 + b^2

И тогда его физический смысл был бы предельно ясен - большой квадрат равен сумме маленьких квадратов, сумма сторон которых равна стороне большого квадрата.

Что значит, большой квадрат равен сумме маленьких? Можно говорить о площадях квадратов, их периметрах.
Очевидно, что площадь квадрата со стороной \(  \large a+b  \) не равна сумме площадей квадратов со сторонами \(  \large a  \) и \(  \large b  \).

Значит, чтобы построить 2 маленьких квадрата, нужно затратить больше ресурсов, чем для построения 1-го большого квадрата.

Что за ресурсы? По-моему, ерунда какая-то.

Я думаю, что не у всего в математике есть физический смысл.
 

Оффлайн ingref

  • Пользователь
  • Сообщений: 2
    • Просмотр профиля
Re: Физический смысл бинома Ньютона
« Ответ #2 : Март 29, 2017, 08:06:37 pm »
Что значит, большой квадрат равен сумме маленьких? Можно говорить о площадях квадратов, их периметрах.

Да, я имел ввиду, что равны площади.

Очевидно, что площадь квадрата со стороной \(  \large a+b  \) не равна сумме площадей квадратов со сторонами \(  \large a  \) и \(  \large b  \).

Да, для меня это тоже очевидно. Но меня интересует, почему так получается? Ведь по сути мы просто преобразовываем 1-мерный объект в 2-мерный. Но почему-то в 1-мерном случае \(  \large a  \) и \(  \large b  \) по отдельности - это тоже самое, что \(  \large a+b  \), а в 2-мерном случае это не тоже самое (два маленьких квадрата по площади меньше, чем один большой).

Значит, чтобы построить 2 маленьких квадрата, нужно затратить больше ресурсов, чем для построения 1-го большого квадрата.

Что за ресурсы? По-моему, ерунда какая-то.

Под словом "ресурсы" я подразумевал числовое значение переменных. Например:

1-мерный объект \(  \large a=3  \)
1-мерный объект \(  \large b=4  \)
1-мерный объект \(  \large a+b=7  \)
2-мерный объект \(  \large a^2 = 9  \)
2-мерный объект \(  \large b^2 = 16  \)
2-мерный объект \(  \large (a+b)^2 = 49  \)

\(  \large  49-9-16=24  \) - вот это число я и назвал "ресурс", который был "затрачен" при построении двух маленьких квадратов, но не был затрачен при построении одного большого квадрата.

Я думаю, что не у всего в математике есть физический смысл.

Мне кажется, что смысл должен быть у каждого верного закона в математике. Просто для каких-то законов смысл уже найден, а для каких-то еще предстоит найти :)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Физический смысл бинома Ньютона
« Ответ #3 : Март 29, 2017, 09:25:48 pm »
смысл должен быть у каждого верного закона в математике

Именно физический?
А какой физический смысл имеет, например, один из законов де Моргана для кванторов: \(  \large \overline{ \forall x P(x)} \simeq \exists x \overline{P(x)}  \)?