а) Пусть производится \( \large n \) независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие \( \large A \) с одной и той же вероятностью \( \large p \) или произойти противоположное событие \( \large \overline{A} \) с вероятностью \( \large q=1-p \). Тогда вероятность того, что событие \( \large A \) наступит ровно \( \large m \) раз, находится по формуле Бернулли
\( \large P_n(m)=C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m} \).
В данном случаем имеем: \( \large P_6(2)=C_6^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left(1- \frac{1}{2} \right)^{6-2}=\frac{6! }{(6-2)! \cdot 2!} \cdot \frac{1}{2^6}=\frac{30}{2^7}=\frac{15}{64} \).
б) Найдём вероятность того, что событие наступит не менее (значит, больше или равно) двух раз. По формуле Бернулли имеем:
\( \Large P_6(m \ge 2)= P_6(2) + P_6(3) + P_6(4) + P_6(5) + P_6(6)= \\ \Large =\frac{15}{64} + C_6^3 \cdot \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{2^{6-3}} + C_6^4 \cdot \frac{1}{2^4} \cdot \frac{1}{2^{6-4}} +C_6^5 \cdot \frac{1}{2^5} \cdot \frac{1}{2^{6-5}} +C_6^6 \cdot \frac{1}{2^6} \cdot \frac{1}{2^{6-0}} \).
в) Найдём вероятность того, что событие наступит не менее двух и не более четырёх раз. По той же самой формуле имеем:
\( \Large P_6(2 \le m \le 4)= P_6(2) + P_6(3) + P_6(4) = \frac{15}{64} + C_6^3 \cdot \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{2^{6-3}} + C_6^4 \cdot \frac{1}{2^4} \cdot \frac{1}{2^{6-4}} \).
