Общее решение рекуррентного соотношения

[Luxor]

Помогите, пожалуйста, завтра уже сдавать, разобраться сам не успею.
Найдите общее решение рекуррентного соотношения \(  \large {u}_{n+2}={u}_{n+1}-\frac{1}{4}{u}_{n}  \)

[Байт]

Харатеристическое 4² - 4k + 1 = 0
k1 = 2 + sqrt(3)
k2 = 2 - sqrt(3)
Общее решение u_n = C1*(2 + sqrt(3))ⁿ + C2*(2 - sqrt(3))ⁿ
Все по теории

[Luxor]

Это и есть типа решение? Если да, то спасибо большое)

[Admin]

Найдите общее решение

Общее решение un = C1*(2 + sqrt(3))n + C2*(2 - sqrt(3))n

Это и есть типа решение?

Почему типа?

[Luxor]

Просто такое маленькое) Я думал целую страницу писать буду

[Байт]

Я думал целую страницу писать буду

Пишите крупным почерком

[Байт]

42 - 4k + 1 = 0

Прошу прощения. Ошибся в запарке
4k² - 4k +1 = 0
k1,2 = 1/2 +- sqrt(2)/2
u_n = C1*(1/2 + sqrt(2)/2)ⁿ + C2*(1/2 - sqrt(2)/2)ⁿ
Длиннее не стало. Но стало точнее. (А с арифметикой с детства - беда)
Идея какая? Ищем решение в виде kⁿ. При подстановке в уравнение и сокращении на kⁿ получается вышеприведенное характеристическое уравнения. Из него k1, k2. Значит решения k1ⁿ и k2ⁿ. Ну и их линейная комбинация.

[Байт]

Что-то с этой задачей мне не везет. Совсем плохо с арифметикой. Может быть на какие-то курсы пойти? Никто не знает?
Характирестическое уравнение составлено вроде правильно. Но корни я посчетал неверно. Так кратный корень k1 = k2 = 2
И общее решение имеет другой вид u_n = (C1*n + C2)*2ⁿ
Простите, ради Бога!
Вообще, рекуррентные уравнения очень похожи на линейные дифференциальные. Те же слова "Ищем решение в виде...", те же характеристические уравнения, линейные комбинации, общее решение однородного, частное решение уравнения с правой частью. И совершенно такая же, я бы сказал, изоморфная, техника. Многие не очень любят рекуррентные уравнения именно потому, что они ничего нового не привносят в видение мира.

[Luxorr]

Если решить квадратное уравнение, то корень получится \(  \large \frac{1}{2}  \)
Тогда общее уравнение примет какой вид?
И еще, \(  \large C1, C2  \) не надо находить и подставлять в общее решение??

[Admin]

Тогда общее уравнение примет какой вид?

Такое же, но с одной лишь разницей: напишите одну вторую вместо двойки.

И еще, C1,C2C1,C2 не надо находить и подставлять в общее решение?

Нет, если это не задача Коши.

[Luxorr]

Такое же, но с одной лишь разницей: напишите одну вторую вместо двойки.

То есть так?

\(  \large {u}_{n}=\frac{{({C}_{1}n+{C}_{2})}^n}{2}  \)

[Admin]

То есть так?

Нет. Посмотрите внимательно на то, что написал Байт.

[Luxorr]

И общее решение имеет другой вид un = (C1*n + C2)*2n

Нуу, вместо двойки одну вторую, двойка уходит в знаменатель

[Admin]

Нет, но у Вас же константы в степени эн. Это же неправильно...

[Luxorr]

Нет, но у Вас же константы в степени эн. Это же неправильно...

единица в степени n = единица.
Или я Вас не понял?
Мне так и оставить что ли?

\(  \large {u}_{n} = ({C}_{1}n+{C}_{2}) \cdot ({\frac{1}{2}})^n  \)

[Admin]

Теперь всё правильно. Кстати, Вы сами может проверить правильность непосредственной подстановкой.