Автор Тема: Общее решение рекуррентного соотношения  (Прочитано 697 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Luxor

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Помогите, пожалуйста, завтра уже сдавать, разобраться сам не успею.
Найдите общее решение рекуррентного соотношения \(  \large {u}_{n+2}={u}_{n+1}-\frac{1}{4}{u}_{n}  \)
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #1 : Декабрь 29, 2016, 06:17:26 pm »
Харатеристическое 42 - 4k + 1 = 0
k1 = 2 + sqrt(3)
k2 = 2 - sqrt(3)
Общее решение un = C1*(2 + sqrt(3))n + C2*(2 - sqrt(3))n
Все по теории :)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Admin, Luxor

Оффлайн Luxor

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #2 : Декабрь 29, 2016, 10:51:42 pm »
Это и есть типа решение? Если да, то спасибо большое)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #3 : Декабрь 29, 2016, 10:58:49 pm »
Найдите общее решение

Общее решение un = C1*(2 + sqrt(3))n + C2*(2 - sqrt(3))n

Это и есть типа решение?

Почему типа?
 
Сказали спасибо: Luxor

Оффлайн Luxor

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #4 : Декабрь 29, 2016, 11:00:19 pm »
Просто такое маленькое) Я думал целую страницу писать буду ;)
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #5 : Декабрь 30, 2016, 12:25:05 am »
Я думал целую страницу писать буду
Пишите крупным почерком :)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Luxor

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #6 : Декабрь 30, 2016, 12:35:03 am »
42 - 4k + 1 = 0
Прошу прощения. Ошибся в запарке
4k2 - 4k +1 = 0
k1,2 = 1/2 +- sqrt(2)/2
un = C1*(1/2 + sqrt(2)/2)n + C2*(1/2 - sqrt(2)/2)n
Длиннее не стало. Но стало точнее. (А с арифметикой с детства - беда)
Идея какая? Ищем решение в виде kn. При подстановке в уравнение и сокращении на kn получается вышеприведенное характеристическое уравнения. Из него k1, k2. Значит решения k1n и k2n. Ну и их линейная комбинация.
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Luxor

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #7 : Декабрь 30, 2016, 11:17:11 am »
Что-то с этой задачей мне не везет. Совсем плохо с арифметикой. Может быть на какие-то курсы пойти? Никто не знает?
Характирестическое уравнение составлено вроде правильно. Но корни я посчетал неверно. Так кратный корень k1 = k2 = 2
И общее решение имеет другой вид un = (C1*n + C2)*2n
Простите, ради Бога!
Вообще, рекуррентные уравнения очень похожи на линейные дифференциальные. Те же слова "Ищем решение в виде...", те же характеристические уравнения, линейные комбинации, общее решение однородного, частное решение уравнения с правой частью. И совершенно такая же, я бы сказал, изоморфная, техника. Многие не очень любят рекуррентные уравнения именно потому, что они ничего нового не привносят в видение мира. :)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Luxor

Оффлайн Luxorr

  • Пользователь
  • Сообщений: 45
  • Поблагодарили: 1 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #8 : Январь 19, 2017, 01:30:11 pm »
Если решить квадратное уравнение, то корень получится \(  \large \frac{1}{2}  \)
Тогда общее уравнение примет какой вид?
И еще, \(  \large C1, C2  \) не надо находить и подставлять в общее решение??
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #9 : Январь 19, 2017, 03:59:17 pm »
Тогда общее уравнение примет какой вид?

Такое же, но с одной лишь разницей: напишите одну вторую вместо двойки.

И еще, C1,C2C1,C2 не надо находить и подставлять в общее решение?

Нет, если это не задача Коши.
 
Сказали спасибо: Luxorr

Оффлайн Luxorr

  • Пользователь
  • Сообщений: 45
  • Поблагодарили: 1 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #10 : Январь 19, 2017, 06:29:09 pm »
Такое же, но с одной лишь разницей: напишите одну вторую вместо двойки.
То есть так?

\(  \large {u}_{n}=\frac{{({C}_{1}n+{C}_{2})}^n}{2}  \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #11 : Январь 19, 2017, 06:48:59 pm »
То есть так?

Нет. Посмотрите внимательно на то, что написал Байт.
 
Сказали спасибо: Luxorr

Оффлайн Luxorr

  • Пользователь
  • Сообщений: 45
  • Поблагодарили: 1 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #12 : Январь 19, 2017, 06:53:10 pm »
И общее решение имеет другой вид un = (C1*n + C2)*2n
Нуу, вместо двойки одну вторую, двойка уходит в знаменатель :)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #13 : Январь 19, 2017, 06:56:17 pm »
Нет, но у Вас же константы в степени эн. Это же неправильно...
 

Оффлайн Luxorr

  • Пользователь
  • Сообщений: 45
  • Поблагодарили: 1 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #14 : Январь 19, 2017, 06:58:51 pm »
Нет, но у Вас же константы в степени эн. Это же неправильно...
единица в степени n = единица.
Или я Вас не понял?
Мне так и оставить что ли?

\(  \large {u}_{n} = ({C}_{1}n+{C}_{2}) \cdot ({\frac{1}{2}})^n  \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение рекуррентного соотношения
« Ответ #15 : Январь 19, 2017, 07:58:57 pm »
Теперь всё правильно. Кстати, Вы сами может проверить правильность непосредственной подстановкой.