Автор Тема: Найти экстремали функционала  (Прочитано 323 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Найти экстремали функционала
« : Декабрь 24, 2016, 10:34:15 am »
Помогите найти функционал.
\(  \large \int\limits_{0}^{1}(\large y^2+4yz+\large z^2+\large (y′)^ 2+2z\large e^x)dx  \)
\( y(0)=0; z(0)=1; y(1)=1; z(1)=0 \)

Во вложении наработки, помогите разрешить.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #1 : Декабрь 25, 2016, 06:42:40 pm »
Я проверил часть Вашего решения. Систему уравнений Вы составили правильно. Затем исключили одну функцию и получили уравнение \(  \large y''+3y=-2e^x  \). Это тоже верно. Дальше, я так понял, Вы использовали метод подбора (по таблице). Как альтернативу (и для проверки), могу предложить метод вариации произвольных постоянных. Об этом можно почитать тут.
 

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #2 : Декабрь 25, 2016, 07:27:43 pm »
Не понимаю как это делать...можете помочь решить дальше...т.к. я подставляю в \(  \large y_{oo}   \) значения, чтобы найти с1 и с2..
как найти уравнение для z, чтобы для нее найти c3 и c4?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #3 : Декабрь 25, 2016, 10:07:35 pm »
Если решать методом Лагранжа (вариации постоянных), то сначала нужно найти общее решение однородного уравнения \(  \large y''+3y=0  \). Составив и решив характеристическое уравнение, находим это решение:

\(  \large y=C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2 \sin \sqrt{3}x  \).

Значит, общее решение неоднородного ДУ следует искать в виде

\(  \large y=C_1(x) \cos \sqrt{3}x + C_2 (x) \sin \sqrt{3}x  \).

Дальше составляем и решаем систему уравнений, откуда находим \(  \large C_1'(x)  \) и \(  \large C_2'(x)  \).