Автор Тема: Найти экстремали функционала  (Прочитано 808 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Найти экстремали функционала
« : Декабрь 23, 2016, 10:59:14 pm »
Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить функционала.
∫_(0)^(1)[y_(1)^('2) (x)+y_(2)^('2) (x)]dx
y_(1) (0)=y_(2) (1)=0; y_(1) (1)=y_(2) (0)=1
y_(1)^(1) (x)-(y)_(2) (x)=0
Во вложении что-то пыталась сделать...дальше запуталась.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #1 : Декабрь 24, 2016, 01:25:30 am »
Здравствуйте.
Функционал и условия такие?

\(  \large \int\limits_{0}^{1} \left( (y_1'(x))^2+(y_2'(x))^2 \right)  \)

\(  \large y_1(0)=y_2(1)=0  \)

\(  \large y_1(1)=y_2(0)=1  \)

А последнюю строчку не разобрал.

Вам нужно составить систему уравнений Эйлера. А затем, используя граничные условия, найти значения констант. Сейчас уже поздно. Поэтому могу лишь порекомендовать литературу. Это книга Краснова и совавторов "Вариационное исчисление" (там, где написано про функционалы, зависящие от \(  \large m  \) переменных). Кроме того, посмотрите эту тему. Там, правда, функционал зависит от одной переменной.

P.S. На форуме есть возможность писать математические формулы. Например, определённый интеграл пишется так:

[latex=inline] \large \int\limits_{0}^{1} f(x)dx [/latex]
А выглядит это так:

\(  \large \int\limits_{0}^{1} f(x)dx  \)

Нижний индекс пишется так:

[latex=inline] \large a_n [/latex]
\(  \large a_n  \)

А верхний - так:

[latex=inline] \large a^n [/latex]
\(  \large a^n  \)

Подробнее об этом здесь.
 

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #2 : Декабрь 24, 2016, 10:27:26 am »
Да, так. Последнее я прикрепляла файл, но его что-то не видно...
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #3 : Декабрь 24, 2016, 11:43:05 am »
Я вот это не понял:

y_(1)^(1) (x)-(y)_(2) (x)=0
 

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #4 : Декабрь 24, 2016, 12:41:49 pm »
ошиблась немного..
это граничное условие
\(  \large  y'_1(x)-y_2 (x)=0  \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #5 : Декабрь 24, 2016, 11:45:58 pm »
Честно говоря, не разобрался в Вашем решении, поскольку нет комментариев. Вам нужно составить систему уравнений Эйлера:

\(  \Large \begin{cases} \frac{\partial{F}}{\partial{y_1}} - \frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}} \left(\frac{\partial{F}}{\partial{y_1'}}  \right)=0 \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y_2}} - \frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}} \left(\frac{\partial{F}}{\partial{y_2'}}  \right)=0  \end{cases}  \).
 

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #6 : Декабрь 25, 2016, 11:16:14 am »
сделала. там в фотке по обе стороны продиф. y1 и y2, а потом составила по каждому уравнение и далее они в системе.
дальше нашла по y1 - c1, c2, а вот по y2 не пойму немного что-то.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #7 : Декабрь 25, 2016, 06:18:54 pm »
А что такое \(  \large \lambda  \)?
 

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #8 : Декабрь 25, 2016, 06:57:13 pm »
Через нее составляется функция...в общем вопрос в том как найти уравнение к y2 со значениями c3 и c4, потому что не знаю как составить далее уравнение для y2. Для y1 все вычислено.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #9 : Декабрь 25, 2016, 07:01:35 pm »
Через нее составляется функция

Может быть, я что-то неверно понимаю... У Вас есть \(  \large F=y_1'^2(x)+y_2'^2(x)  \). Нужно составить уравнения Эйлера. Зачем тут \(  \large \lambda  \)? И откуда это берётся?
 

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #10 : Декабрь 25, 2016, 07:01:48 pm »
Все что ниже красной линии не правильно
 

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #11 : Декабрь 25, 2016, 07:05:02 pm »
только там у не в 1 степени, а штрих.
Извиняюсь. Вот более точно.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #12 : Декабрь 25, 2016, 11:46:58 pm »
У Вас тут что-то странное. Мне не понятен ход решения.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #13 : Декабрь 27, 2016, 12:26:07 am »
У меня получилась такая система уравнений:

\(  \large \begin{cases} y_1''=0 \\ y_2''=0 \end{cases}  \).
 

Оффлайн tilili0909

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #14 : Декабрь 27, 2016, 10:43:05 am »
точно. Ошиблась..а дальше там как его решить?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремали функционала
« Ответ #15 : Декабрь 27, 2016, 12:12:50 pm »
Интегрируйте дважды обе части.