Автор Тема: Множества  (Прочитано 244 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн sasha405

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Множества
« : Октябрь 13, 2015, 03:25:29 pm »
Доказать, что \(  \large A \subseteq B \Rightarrow A \cup C \subseteq B \cup C \).
Пожалуйста, помогите решить.
Задание не надо доказывать частным случаем.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказательство и область определения
« Ответ #1 : Октябрь 13, 2015, 05:02:01 pm »
Требуется доказать: если \(  \large A \subseteq B  \), то \(  \large A \cup C \subseteq B \cup C \). Докажем, что данная импликация истинна. Согласно определению, \(  \large A \subseteq B \Leftrightarrow x \in A \to x \in B, \ A \cup C \Leftrightarrow x \in A \vee x \in C  \). Итак, требуется доказать: \(  \large (x \in A \to x \in B) \to ((x \in A \vee x \in C) \to (x \in B \vee x \in C)) \).

Преобразуем данное высказывание, используя тавтологии алгебры высказываний:

а) \(  \large x \in A \to x \in B \simeq x \not \in A \vee x \in B \);

б) \(  \large ( x \in A \vee x \in C) \to ( x \in B \vee x \in C) \simeq ( x \in A \vee x \in C)' \vee (x \in A \vee x \in C)  \);

в) \(  \large ( x \in A \vee x \in C)' \vee (x \in A \vee x \in C) \simeq ( x  \not \in A \wedge x \not \in C) \vee (x \in A \vee x \in C)    \);

г) \(  \large ( x  \not \in A \wedge x \not \in C) \vee (x \in A \vee x \in C)   \simeq (x \not \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge ( x \not \in C \vee x \in B \vee x \in C) \);

д) \(  \large (x \not \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge ( x \not \in C \vee x \in B \vee x \in C) \simeq (x \not \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge 1 \);

е) \(  \large (x \not \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge 1 \simeq (x \not \in A \vee x \in B \vee x \in C) \);

ж) \(  \large (x \in A \to x \in B) \to ((x \in A \vee x \in C) \to (x \in B \vee x \in C)) \simeq ( x \not \in A \vee x \in B)' \vee (x \not \in A \vee x \in B \vee x \in C) \simeq \) \(  \large \simeq ( x \in A \wedge x \not \in B) \vee (x \not \in A \vee x \in B \vee x \in C) \simeq 1  \)

Итак, импликация истинна. Значит, \(  \large A \subseteq B \Rightarrow A \cup C \subseteq B \cup C \).
 

Оффлайн sasha405

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Re: Доказательство и область определения
« Ответ #2 : Октябрь 13, 2015, 05:07:13 pm »
Спасибо за 1 задание, я забыл написать p.s. :-\
Мне надо решить 3 задания(((