Автор Тема: Как вычислить сумму?  (Прочитано 3294 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Как вычислить сумму?
« : Декабрь 15, 2016, 01:51:24 pm »
В ходе решения различных задач возникает вопрос о том, как вычислить конечную сумму, сумму конечного числа слагаемых. С суммами изучающие математику сталкиваются уже в ходе изучения элементарной математики. Там рассматриваются суммы двух последовательностей вещественных чисел - арифметической и геометрической прогрессий. В высшей школе суммы могут понадобиться при вычислении суммы ряда, а также при непосредственном решении рекуррентных соотношений. Иногда конечные суммы ошибочно называют конечными рядами. Это неверно, поскольку ряд - это бесконечная сумма. Далеко не всякую конечную сумму можно вычислить, получить для неё некоторую замкнутую формулу. Например, нельзя найти формулу для суммы гармонических чисел:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}  \).

Просто вычислить сумму типа \(  \large 2+3+4  \) или сумму \(  \large n  \) одинаковых слагаемых. Как быть, когда слагаемых \(  \large n  \) штук и они различны? В качестве примера рассмотрим сумму \(  \large 1+2+...+n  \). Её легко вычислить, если известно, что \(  \large n  \) - чётное число. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

\(  \large (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2)+ \ldots + \left( \frac{n}{2}+ \frac{n}{2}+1 \right) \).

Ясно, что все эти слагаемые равны \(  \large n+1  \), а количество этих слагаемых равно \(  \large \frac{n}{2}  \). Следовательно,

\(  \large 1+2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}  \).

Отметим, что формула справедлива и при нечётном значении \(  \large n  \). Этот факт будет доказан в последующем.

Выше мы использовали непосредственный метод записи суммы. В так называемой высшей математике суммы обычно записываются иначе:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^n a_k  \).

Эта запись обозначает суммирование чисел вида \(  \large a_k  \) при изменении \(  \large k  \) от \(  \large 1  \) до \(  \large n  \). Здесь \(  \large \sum \) - знак суммы (греческая буква сигма), \(  \large a_k  \) - общий член суммы, \(  \large k  \) - индекс суммирования, \(  \large 1  \) - нижняя граница суммирования, \(  \large n  \) - верхняя граница суммирования. Нужно отметить, что суммирование может начинаться как с нулевого члена, так и с члена с номером больше одного.

Далее будут рассмотрены: прогрессии, арифметическая и геометрическая, суммы рациональных дробей, суммы с биномиальными коэффициентами, суммы квадратов, кубов и более высоких степеней первых \(  \large n  \) натуральных чисел, метод приведения для вычисления знакопеременных и других сумм, а также двойные суммы.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить сумму?
« Ответ #1 : Декабрь 15, 2016, 01:56:09 pm »
1. Прогрессии


Определение 1. Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, что каждый последующий её член равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа (оно называется разностью арифметической прогрессии).

Теорема 1. Сумма \(  \large n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

\(  \large S_n=n \cdot \frac{2a_1+(n-1)b}{2} \),

где \(  \large a_1 \) - первый член прогрессии, \(  \large b \) - её разность.

Доказательство. Рассмотрим произвольную арифметическую прогрессию:

\(  \large a_1, \ a_1 +b, \ a_1 +2b, \ \ldots \ , a_1+(n-1)b   \)

Запишем сумму данной геометрической прогрессии:

\(  \large S_n=a_1+a_1+b+ \ldots + a_1 +b (n-1)  \).

Сгруппируем члены суммы:

\(  \large S_n=na_1 + b (1+2 + \ldots +n-1)  \).

Ниже будет показано, как вычисляются суммы наподобие той, что в скобках. Сейчас просто скажем, чему она равна:

\(  \large 1+2 + \ldots +n-1= \frac{(n-1)n}{2}  \).

Итак,

\(  \large S_n=n \cdot \frac{2a_1+(n-1)b}{2}  \).

Теорема доказана.

Пример 1. Найдём

\(  \large 1+3+ \cdots + (2n-1)=\sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1) \).

Данная сумма есть сумма \(  \large n \) членов арифметической прогрессии, где \(  \large a_1=1, \ b=2  \). Имеем:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)=\frac{(2 \cdot 1 + 2(n-1))n}{2}=(1+n-1)n=n^2  \).

Положим, например, \(  \large n=3 \) и проверим правильность вычисления суммы, найдя её двумя способами - непосредственно и по формуле:

1) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{3}(2k-1)=(2 -1)+ (4-1)+(6-1)=1+3+5=9  \);

2) \(  \large  \sum\limits_{k=1}^{3}(2k-1)=3^2=9 \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2 \).

Определение 2. Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, что каждый последующий её член равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа (оно называется знаменателем геометрической прогрессии).

Теорема 2. Сумма \(  \large n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(  \large S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \), где \(  \large a_1 \) - первый член прогрессии, \(  \large q \) - её разность.

Доказательство. Пусть \(  \large a_1, \ a_1q, \ a_1q^2 \ , \ldots , \ a_1q^{n-1}  \) - произвольная геометрическая прогрессия. Запишем её сумму:

\(  \large S_n= a_1 + a_1q+ a_1q^2 + \ldots + a_1q^{n-1}  \).

Следовательно,

\(  \large qS_n= a_1q + a_1q^2+ a_1q^3 + \ldots +a_1 q^{n-1}+ a_1q^{n}  \).

Вычтем первое равенство из второго:

\(  \large S_n(q-1)=a_1(q^n-1)  \).

Следовательно,

\(  \large S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}  \).

Теорема доказана.

Пример 2. Вычислим сумму

\(  \large 1+3^2+ \cdots + 3^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{n}3^{k-1} \).

Эта сумма представляет собой сумму \(  \large n \) членов геометрической прогрессии, у которой \(  \large b_1=1, \ q=3 \). Получим:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}3^{k-1}=\frac{1\cdot (1-3^n)}{1-3}=\frac{3^n-1}{2} \).

Как и предыдущем примере, выполним проверку. Пусть, например, \(  \large n=4 \). Тогда:

1) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{4}3^{k-1} =1+3+3^2+3^3=40 \);

2) \(  \large  \sum\limits_{k=1}^{4}3^{k-1}=\frac{3^4-1}{2}=\frac{80}{2}=40 \).

Итак,

\(  \large  \sum\limits_{k=1}^{n}3^{k-1}=\frac{3^n-1}{2} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить сумму?
« Ответ #2 : Декабрь 15, 2016, 01:58:12 pm »
2. Суммы рациональных дробей


***

Иногда сумму вида

\(  \Large \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{b}{(k+a_1)(k+a_2) \cdots (k+a_m)} \)

можно вычислить, приведя её к виду

\(  \Large b \sum\limits_{k=1}^{n} \left( \frac{c_1}{k+a_1}+\frac{c_2}{k+a_2}+ \cdots + \frac{c_m}{k+a_m} \right) \).


Иначе говоря, в этом случае применяется разложение на простейшие дроби.

Тогда все слагаемые, кроме первой и последней дроби, могут взаимно уничтожиться, и сумма будет равна сумме этих дробей.

***

Пример 3. Найдём

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \).

Разложим дробь

\(  \large \frac{1}{k(k+1)} \)

на сумму простейших:

\(  \Large \frac{1}{k(k+1)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1} \ \Leftrightarrow \ \frac{0 \cdot k+1}{k(k+1)} = \frac{(a+b)k+a}{k(k+1)} \).

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений, решая которую, найдём искомое разложение:

\(  \large \begin{cases} a+b=0 \\ a=1 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases} \).

Значит,

\(  \large \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \).

Тогда

\(  \large  \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+ \cdots + \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \).

Положим, например, \(  \large n=3 \) и проверим правильность вычислений:

1) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{3} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}=\frac{3}{4} \);

2) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{3} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4} \).

Итак, \(  \large \sum\limits_{k=1}^{3} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1} \).

***

В рассмотренной задаче факт взаимного уничтожения слагаемых очевиден. Рассмотрим другой пример, где сразу трудно догадаться, что большая часть слагаемых уходит.

***

Пример 4. Вычислим сумму:

\(  \Large \sum\limits_{k=1}^n \frac{8}{16k^2+8k-15} \).

Поскольку

\(  \large \frac{8}{16k^2+8k-15}=\frac{1}{4k-3}- \frac{1}{4k+5} \),


то

\(  \Large \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{8}{16k^2+8k-15}=\sum\limits_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+5} \right)  \).


Выпишем достаточно много членов этой суммы, чтобы понять, какие именно члены встречаются с противоположными знаками, а значит, взаимно уничтожаются. Имеем:

\(  \large 1- \frac{1}{9}+ \frac{1}{5} - \frac{1}{13} + \frac{1}{9} - \frac{1}{17}+ \frac{1}{13} - \frac{1}{21}+ \frac{1}{17} - \frac{1}{25}  + \cdots + \frac{1}{4(n-1)-3} - \frac{1}{4(n-1)+5} + \frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+5} \).

Очевидно, что \(  \large 1 \) и \(  \large\frac{1}{5}  \) встречаются только со знаком "плюс", так как знаменатели суммируемых дробей будут лишь увеличиваться. Гораздо труднее осознать, что, кроме единицы и одной пятой, в искомой сумме останутся  дроби \(  \large -\frac{1}{4(n-1)-3}=-\frac{1}{4n+1} \) и \(  \large -\frac{1}{4n+5} \). Но это можно предположить, посмотрев на дроби от \(  \large 1 \) до \(  \large -\frac{1}{25} \): взаимно уничтожаются все, кроме \(  \large 1 \), \(  \large \frac{1}{5} \), \(  \large -\frac{1}{21} \) и \(  \large -\frac{1}{25} \) (первое число, третье, третье с конца и последнее). Итак, \(  \large \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{8}{16k^2+8k-15}= \frac{6}{5} - \frac{1}{4n+1}- \frac{1}{4n+5} \).

Сделаем проверку. Пусть, например, \(  \large n=4 \). Тогда по найденной нами формуле

\(  \large \sum\limits_{k=1}^4 \frac{8}{16k^2+8k-15}=\frac{6}{5} - \frac{1}{17}-\frac{1}{21} \).

Найдём ту же сумму непосредственно:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^4 \frac{8}{16k^2+8k-15}=\sum\limits_{k=1}^4 \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+5}  \right)=1-\frac{1}{9}+\frac{1}{5} -\frac{1}{13} + \frac{1}{9} - \frac{1}{17} +\frac{1}{13} - \frac{1}{21}=\frac{6}{5}- \frac{1}{17}-\frac{1}{21}  \).

Тот факт, что нами получены одинаковые результаты, говорит о том, что формула для суммы найдена верно.

***

Разложение на простейшие дроби часто применяется при вычислении \(  \large n  \)-ой частичной суммы числового ряда.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить сумму?
« Ответ #3 : Декабрь 15, 2016, 01:59:02 pm »
3. Суммы с биномиальными коэффициентами


***

Как известно, бином Ньютона имеет вид \(  \large (x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k x^{n-k}y^k \). Положив \(  \large x=y=1 \), получим выражение для суммы биномиальных коэффициентов: \(  \large \sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k =2^n \). Используя бином Ньютона, можно вычислить и другие суммы, содержащие биномиальные коэффициенты. Как это делается, рассмотрим на примерах.

***

Пример 5. Вычислим
\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n}k C_n^k \).

В биноме Ньютона

\(  \large (x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k x^{n-k}y^k \)

положим \(  \large x=1 \). Тогда

\(  \large (1+y)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k y^k \).

Продифференцируем обе части полученного равенства по переменной \(  \large y \):

\(  \large n(y+1)^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k k y^{k-1} \).

Пусть \(  \large y=1 \). Тогда

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} kC_n^k = n 2^{n-1}  \).

Положим, например, \(  \large n=1 \). Выполним проверку, найдя сумму двумя способами:

1) \(  \large \sum\limits_{k=0}^{1} kC_n^k k=0 \cdot C_1^0+ 1 \cdot C_1^1=1 \);

2) \(  \large \sum\limits_{k=0}^{1} kC_n^k k=1 \cdot 2^{1-1}=1 \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} kC_n^k = n 2^{n-1}  \).

***

Для вычисления сумм вида \(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} k^m C_n^k, \ m \in \mathbb{N} \), применяется \(  \large m \)-кратное дифференцирование.

***

Пример 6. Вычислим

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} (3k^2+2k+1) C_n^k \).

Так как суммы 

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k \)

и 

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} kC_n^k \)


вычислены выше, задача сводится к нахождению выражения для суммы 

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} k^2 C_n^k \).

Продифференцируем по переменной \(  \large y \) равенство

\(  \large n(1+y)^{n-1}= \sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k k y^{k-1} \).

Имеем:

\(  \large n(n-1)(1+y)^{n-2}= \sum\limits_{k=0}^n C_n^k k(k-1)y^{k-2}  \).

Положим \(  \large y=1 \). Следовательно,

\(  \large \sum\limits_{k=0}^n C_n^k (k^2-k)=n(n-1)2^{n-2} \).

Тогда

\(  \large \sum\limits_{k=0}^n k^2 C_n^k = n(n-1)2^{n-2} +  \sum\limits_{k=0}^n k C_n^k=(n^2+n) 2^{n-2} \).


Следовательно,

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} (3k^2+2k+1) C_n^k=(3n^2+7n+4)2^{n-2} \).

Пусть \(  \large n=1 \). Проверим:

1) \(  \large \sum\limits_{k=0}^{1} (3k^2+2k+1) C_n^k=1  C_1^0 + 6 C_1^1=1+6=7   \);

2) \(  \large \sum\limits_{k=0}^{1} (3k^2+2k+1) C_n^k=(3+7+4) 2^{1-2}=\frac{14}{2}=7 \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} (3k^2+2k+1) C_n^k=(3n^2+7n+4)2^{n-2} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить сумму?
« Ответ #4 : Декабрь 15, 2016, 01:59:57 pm »
Пример 7. Найдём

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{C_n^k}{k+1} \).

Проинтегрируем обе части равенства

\(  \large (1+y)^n=\sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k y^n \)

от \(  \large 0 \) до \(  \large a \):

\(  \Large \int\limits_{0}^{a} (1+y)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k \int\limits_{0}^{a} y^k dy \)

\(  \Large \frac{(1+y)^{n+1}}{n+1} \bigg|_0^a=\sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k \frac{y^{k+1}}{k+1} \bigg|_0^a \).

\(  \Large \frac{(1+a)^{n+1}-1}{n+1} =\sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k \frac{a^{k+1}}{k+1} \)

Положим \(  \large a=1 \). Тогда

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n}  \frac{C_n^k}{k+1}=\frac{(2)^{n+1}-1}{n+1} \).

Как обычно, проверим правильность вычислений. Пусть, например, \(  \large n=1 \). Имеем:

1) \(  \large  \sum\limits_{k=0}^{1}  \frac{C_n^k}{k+1}=\frac{C_1^0}{1}+\frac{C_1^1}{2}=\frac{3}{2} \);

2) \(  \large  \sum\limits_{k=0}^{1}  \frac{C_n^k}{k+1}=\frac{(2)^{1+1}-1}{1+1}=\frac{3}{2} \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n}  \frac{C_n^k}{k+1}=\frac{(2)^{n+1}-1}{n+1} \).

***

Для вычисления сумм вида \(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{C_n^k}{(k+1)(k+2) \cdots (k+m)} \) применяется \(  \large m \)-кратное интегрирование.

***

Пример 8. Вычислим

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{C_n^k}{(k+1)(k+2)} \).

Положим \(  \large a=x \) в равенстве

\(  \large \frac{(1+a)^{n+1}}{n+1}- \frac{1}{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k \frac{a^{k+1}}{k+1} \)

и проинтегрируем от \(  \large 0 \) до \(  \large b \):

\(  \Large \int\limits_{0}^{b} \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}dx-\frac{1}{n+1} \int\limits_{0}^{b}dx=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k \int\limits_{0}^{b} \frac{x^{k+1}}{k+1}dx  \)

\(  \Large \frac{(1+x)^{n+2}}{(n+1)(n+2)} \bigg|_{0}^{b} - \frac{x}{n+1} \bigg|_{0}^{b}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k \frac{x^{k+2}}{(k+1)(k+2)} \bigg|_{0}^{b} \)

\(  \Large \frac{(1+b)^{n+2}-1-b(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k \frac{b^{k+2}}{(k+1)(k+2)}   \)

Положим \(  \large b=1 \). Тогда

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{C_n^k}{(k+1)(k+2)}  =\frac{2^{n+2}-n-3}{(n+1)(n+2)} \).

Пусть, например, \(  \large n=1 \). Проверим, правильно ли мы вычислили сумму:

1) \(  \large \sum\limits_{k=0}^{1} \frac{C_n^k}{(k+1)(k+2)}=\frac{C_1^0}{2}+\frac{C_1^1}{6}=\frac{2}{3}   \);

2) \(  \large \sum\limits_{k=0}^{1} \frac{C_n^k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{1+2}-1-3}{6}=\frac{2}{3} \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{C_n^k}{(k+1)(k+2)}  =\frac{2^{n+2}-n-3}{(n+1)(n+2)} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить сумму?
« Ответ #5 : Декабрь 15, 2016, 02:00:53 pm »
4. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел


***

Далее будут рассмотрены суммы \(  \large k \)-х степеней первых \(  \large n \) натуральных чисел: \(  \large 1^k+2^k+ \cdots +n^k \).

***

Теорема 3. Сумма \(  \large k \)-х степеней первых \(  \large n  \) натуральных чисел есть многочлен от \(  \large n  \) степени \(  \large k+1  \).

Доказательство. Рассмотрим биномиальное разложение:

\(  \large (x+y)^n= \sum\limits_{k=0}^n C_n^k  x^{n-k} y^k \).

Поскольку нам нужно вычислить

\(  \large 1^k+2^k + \cdots + n^k  \),

запишем бином Ньютона иначе: поменяем местами \(  \large k  \) и \(  \large n  \). Имеем:

\(  \large (x+y)^k= \sum\limits_{n=0}^k C_k^n  x^{k-n} y^n \).

Значит,

\(  \large (x+y)^{k+1}= \sum\limits_{n=0}^{k+1} C_{k+1}^n  x^{k+1-n} y^n \).

Положим \(  \large y=-1  \). Получим:

\(  \large (x-1)^{k+1}= \sum\limits_{n=0}^{k+1} C_{k+1}^n (-1)^n x^{k+1-n}  \).

Правая часть равенства имеет вид

\(  \large x^{k+1} +  \sum\limits_{n=0}^{k+1} C_{k+1}^n (-1)^n x^{k+1-n}  \).

Следовательно,

\(  \large (x-1)^{k+1} - x^{k+1}= \sum\limits_{n=1}^{k+1} C_{k+1}^n (-1)^n x^{k+1-n}   \).

Положим поочерёдно \(  \large x=1  \), \(  \large x=2  \), \(  \large x=3  \), ... , \(  \large x=k  \). Имеем:

1) \(  \large 0-1=\sum\limits_{n=1}^{k+1} C_{k+1}^n (-1)^n \cdot 1^{k+1-n}  \);

2) \(  \large 1-2^n= \sum\limits_{n=1}^{k+1} C_{k+1}^n (-1)^n 2^{k+1-n}  \);

3) \(  \large 2^n-3^n= \sum\limits_{n=1}^{k+1} C_{k+1}^n (-1)^n 3^{k+1-n}  \);

...

k) \(  \large (n-1)^{k+1} - n^{k+1}= \sum\limits_{n=1}^{k+1} C_{k+1}^n (-1)^n n^{k+1-n}  \).

Сложим эти равенства. Нетрудно догадаться, что в левой части останется \(  \large -n^{k+1}  \). В правой части получится

\(  \large \sum\limits_{n=1}^{k+1} (-1)^n C_{k+1}^n (1^{k+1-n}+2^{k+1-n} + 3^{k+1-n} + \ldots + n^{k+1-n})  \).

Итак,

\(  \large -n^{k+1}= \sum\limits_{n=1}^{k+1} (-1)^n C_{k+1}^n (1^{k+1-n}+2^{k+1-n} + 3^{k+1-n} + \ldots + n^{k+1-n})  \).

Введём обозначение:

\(  \large  S_{k}(n)=1^k + 2^k + \ldots + n^k \).

Тогда

\(  \large -n^{k+1}=-C_{k+1}^1 S_{k} (n) + C_{k+1}^2 S_{k-1} (n) + \ldots +(-1)^{k+1} C_{k+1}^{k+1} S_0(n)  \).

Итак,

\(  \large S_{k} (n)=\frac{1}{C_{k+1}^1} \left( n^{k+1} + C_{k+1}^2 S_{k-1} (n) + \ldots +(-1)^{k+1} C_{k+1}^{k+1} S_0(n) \right)  \).

Слева в этом равенстве сумма \(  \large k  \)-х степеней первых \(  \large n  \) натуральных чисел, справа - многочлен от переменной \(  \large n  \) степени \(  \large k+1  \). Теорема доказана.
 
Сказали спасибо: Байт

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить сумму?
« Ответ #6 : Декабрь 15, 2016, 02:01:39 pm »
Из доказанной в этой теореме формулы можно вывести конкретную формулу для любого натурального значения \(  \large k  \). Однако в этой формуле будут присутствовать суммы всех меньших степеней. Поэтому для решения конкретных задач лучше использовать доказанную выше теорему и метод неопределённых коэффициентов.

***

Пример 9. Вычислим сумму \(  \large n \) первых натуральных чисел. Итак, \(  \large S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k \). Известно, что

\(  \large S_n=an^2+bn+c \).


Тогда

\(  \large S_{n+1}=a(n+1)^2+b(n+1)+c \).


Значит,

\(  \large S_{n+1}-S_n=a(n^2+2n+1)+b(n+1)+c-an^2-bn-c=2an+(a+b) \).

С другой стороны,

\(  \large S_n=1+2+ \cdots +n, \ S_{n+1}=1+2+ \cdots + n+ (n+1) \).

Следовательно,

\(  \large S_{n+1}-S_n=n+1 \)

и

\(  \large 2an+(a+b)=n+1 \).

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений:

\(  \large \begin{cases} 2a=1 \\ a+b=1 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}  \).

Значит,

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}+c \).

Положим \(  \large n=1 \). Тогда

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{1}k=1, \  \sum\limits_{k=1}^{1}k=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+c \).

Следовательно,

\(  \large c=0 \), \(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{n^2+n}{2} \).

Выполним проверку. Положим, например, \(  \large n=3 \). Тогда:

1) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{3}k=1+2+3=6 \);

2) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{3}k =\frac{3^2+3}{2}=6 \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{n^2+n}{2} \).

Пример 10. Найдём сумму \(  \large n  \) первых квадратов натуральных чисел:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}k^2 \).

Решаем задачу точно так же, как и предыдущую:

1) \(  \large S_n=an^3+bn^2+cn+d, \ S_{n+1}=a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)+d  \)

\(  \large \Rightarrow \ S_{n+1}-S_n=3an^2+(3a+2b)n+(a+b+c)  \);

2) \(  \large S_n=1^2+ 2^2+ \cdots + n^2, \ S_{n+1}=1^2+ 2^2+ \cdots + n^2+(n+1)^2 \ \Rightarrow \ S_{n+1}-S_n=n^2+2n+1  \).

Получим систему уравнений:

\(  \large \begin{cases} 3a=1 \\ 3a+2b=2 \\ a+b+c=1 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{1}{3} \\ b=\frac{1}{2} \\ c=\frac{1}{6} \end{cases} \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n} k^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n+d \).

Пусть \(  \large n=1 \). Тогда

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{1} k^2=1^2=1, \ \sum\limits_{k=1}^{1} k^2=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+d \).


Значит, \(  \large d=0 \). Окончательно:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{1} k^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n \).

Как обычно, проверим. Пусть, например, \(  \large n=2 \). Тогда:

1) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{2}k^2=1^2+2^2=1+4=5 \);

2) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{2}k^2=\frac{1}{3}2^3+\frac{1}{2}2^2+\frac{1}{6}2=\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+\frac{2}{6}=5 \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{1} k^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить сумму?
« Ответ #7 : Декабрь 17, 2016, 03:25:11 pm »
5. Метод приведения


***

Пусть требуется вычислить сумму \(  \large S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k \). Сущность метода приведения заключается в том, что сумму \(  \large S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}a_k \) записывают двумя способами:

1) \(  \large S_{n+1}=a_1+\sum\limits_{k=2}^{n+1}a_k=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k+1} \);

2) \(  \large S_{n+1}=S_n+a_{n+1} \).

Затем в сумме \(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k+1} \) выделяют исходную сумму \(  \large S_n \). Приравнивая \(  \large a_1+\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k+1} \) и \(  \large S_n+a_{n+1} \), получают уравнение вида \(  \large a_1+bS_n+c=S_n+a_{n+1} \), из которого находят искомую сумму. При этом число \(  \large c \) тоже может быть некоторой конечной суммой.

Суммы вида \(  \large S_n=\sum\limits_{k=0}^{n}a_k \) вычисляются аналогично.

***

Пример 11. Вычислим

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2k}{3^k} \).

Заметим, что сумма

\(  \large \frac{2}{3}+ \frac{4}{9}+\frac{6}{27}+ \cdots + \frac{2n}{3^n} \)

не является суммой \(  \large n \) членов геометрической прогрессии. Используем метод приведения. Запишем \(  \large S_{n+1} \) двумя способами:

1) \(  \large S_{n+1}=a_1+ \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k+1}=\frac{2}{3}+ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2k+2}{3^{k+1}}=\frac{2}{3}+ \frac{1}{3} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2k}{3^k}+ \frac{2}{3} \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{3^k}=\frac{2}{3}+ \frac{1}{3} S_n+ \frac{2}{3} \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{3^k} \);

2) \(  \large S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=S_n+\frac{2n+2}{3^{n+1}}  \).

Сумма

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{3^k} \)

есть сумма \(  \large n \) членов геометрической прогрессии. Вычислим её:

\(  \Large \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{3^k}=\frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right)}{1 - \frac{1}{3}}=\frac{1}{2} \frac{3^n-1}{3^n} \).

Значит,

\(  \large \frac{2}{3}+\frac{1}{3}S_n+ \frac{1}{3} \frac{3^n-1}{3^n}=S_n+\frac{2n+2}{3^{n+1}} \).

Из этого линейного относительно \(  \large S_n \) уравнения находим:

\(  \large S_n=\frac{3^{n+1}-2n-3}{2 \cdot 3^n} \).

Положим, например, \(  \large n=2 \) и проверим правильность вычислений, найдя сумму непосредственно и по формуле, полученной нами:

1) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{2} \frac{2k}{3^k}=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}=\frac{10}{9} \);

2) \(  \large \sum\limits_{k=1}^{2} \frac{2k}{3^k}=\frac{3^{2+1}-2 \cdot 2 -3}{2 \cdot 3^2}=\frac{27-7}{18}=\frac{10}{9} \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2k}{3^k}=\frac{3^{n+1}-2n-3}{2 \cdot 3^n} \).

Пример 12. Дана знакопеременная сумма:

\(  \large \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k (k-1) \).

Вычислим её. Как и в предыдущем примере, используем метод приведения. Имеем:

1) \(  \large S_{n+1}=a_0+ \sum\limits_{k=0}^{n}a_{k+1}=(-1)^0(0-1)+ \sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k+1} (k+1-1)=-1-\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k (k-1)-\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k= \) \(  \large =-1-S_n-Z_n  \);

2) \(  \large S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=S_n+(-1)^{n+1}n \).

Значит,

\(  \large -1-S_n-Z_n=S_n+(-1)^{n+1}n \).

Отсюда находим:
 
\(  \large S_n=-\frac{1}{2}-\frac{Z_n}{2}+(-1)^{n+1}\frac{n}{2} \).


Для вычисления суммы \(  \large Z_n=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k \) также применим метод приведения:

1) \(  \large Z_{n+1}=1+ \sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k+1}=1-\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k=1-Z_n \);

2) \(  \large Z_{n+1}=Z_n+(-1)^{n+1}=Z_n-(-1)^n \).

Тогда

\(  \large 1-Z_n=Z_n-(-1)^n \),

откуда

\(  \large Z_n=\frac{1+(-1)^n}{2} \).

Следовательно,

\(  \large S_n=\frac{(2n-1)(-1)^n-3}{4} \).

Положим, например, \(  \large n=2 \) и проверим правильность вычислений:

1) \(  \large S_2=\sum\limits_{k=0}^{2} (-1)^k (k-1)=(-1)^0(0-1) + (-1)^1(1-1)+(-1)^2(2-1)=-1+0+1=0 \);

2) \(  \large S_2=\sum\limits_{k=0}^{2} (-1)^k (k-1)=\frac{(4-1)(-1)^2-3}{4}=0 \).

Итак,

\(  \large S_n=\frac{(2n-1)(-1)^n-3}{4} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить сумму?
« Ответ #8 : Декабрь 17, 2016, 03:26:15 pm »
Пример 13. Вычислим сумму

\( \sum_{k=1}^{n}(k+1)2^{k-1} \).

Пусть

\( \large S_n=\sum_{k=1}^{n}(k+1)2^{k-1} \).

Найдём \( \large S_{n+1} \) двумя способами:

1) \( \large S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=S_n+(n+2)2^n \);

2) \(  \large S_{n+1}=a_1+\sum_{k=1}^{n}(k+2)2^k=2+\sum_{k=1}^{n}(k+1)2^k +\sum_{k=1}^{n}2^k=2+2S_n+\sum_{k=1}^{n}2^k \).

Последняя сумма есть сумма \( \large n \) членов геометрической прогрессии:

\( \large \sum_{k=1}^{n}2^{k}=2(2^n-1) \). Итак,

\( \large S_n+(n+2)2^n=2+2S_n+2(2^n-1) \).

Из последнего уравнения находим:

\( \large S_n=n \cdot 2^n \).

***

Используя метод приведения, попробуем найти сумму одинаковых степеней натуральных чисел. Пусть, например, требуется вычислить сумму \(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}k^3 \). Представим \(  \large S_{n+1} \) двумя способами:

1) \(  \large S_{n+1}=a_1+ \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k+1}=1+ \sum\limits_{k=1}^{n}(k+1)^3=1+ S_n+ \sum\limits_{k=1}^{n}(3k^2+3k+1) \);

2) \(  \large S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=S_n+(n+1)^3 \).

Тогда

\(  \large 1+ S_n+ \sum\limits_{k=1}^{n}(3k^2+3k+1) =S_n+(n+1)^3  \)

или

\(  \large 1+  \sum\limits_{k=1}^{n}(3k^2+3k+1) =(n+1)^3  \).

Видим, что искомая сумма не фигурирует в последнем равенстве. Однако из этого равенства можно вывести формулу для суммы квадратов, которая выражается через сумму первых степеней. Имеем:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^n k^2=\frac{1}{3} \left( n^3+3n^2+3n- \sum\limits_{k=1}^n (3k+1) \right) \).
 
Сказали спасибо: Байт

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить сумму?
« Ответ #9 : Декабрь 17, 2016, 03:27:16 pm »
6. Двойные суммы


***

При вычислении двойной суммы сначала вычисляют внутреннюю сумму, а затем - получившуюся однократную сумму. Рассмотрим пару примеров.

***

Пример 14. Найдём сумму

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n-k-2}(3k+j-1) \).

Вычислим сначала внутреннюю сумму:

\(  \large \sum\limits_{j=1}^{n-k-2}(3k+j-1)=(3k-1) \sum\limits_{j=1}^{n-k-2} 1 + \sum\limits_{j=1}^{n-k-2} j= (3k-1)(n-k-2) + (1+n-k-2) \frac{n-k-2}{2}= \\ \large =-\frac{5}{2}k^2 + \left( 2n-\frac{7}{2} \right) k + \frac{1}{2} \left( n^2-5n+6 \right) \).

Тогда

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n-k-2}(3k+j-1)=-\frac{5}{2} \sum\limits_{k=1}^{n}k^2+ \left( 2n-\frac{7}{2} \right) \sum\limits_{k=1}^{n}k +  \frac{1}{2} \left( n^2-5n+6 \right) \sum\limits_{k=1}^{n} 1= \)

\( =\large  -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{6} \left( 2n^3+3n^2+n \right) + \left(2n-\frac{7}{2} \right) \left(  \frac{n^2+n}{2} \right) + \frac{n}{2} \left( n^2-5n+6 \right)= \) \(  \large \frac{2}{3}n^3-\frac{9}{2}n^2 + \frac{5}{6}n \).

Пример 15. Вычислим двойную сумму:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n-1} \sum\limits_{j=1}^{n-k-2}(4j+k-3) \).

При вычислении данной суммы нам потребуются значения следующих сумм: \(  \large \sum\limits_{k=1}^n 1, \ \sum\limits_{k=1}^n k , \ \sum\limits_{k=1}^n k^2 \). Вычислим их. Первая сумма вычисляется легко:

\(  \large \sum\limits_{k=1}^n 1=\underbrace{1+ 1 + \ldots +1}_{n \ раз}=1 \cdot n=n \).

Две другие суммы мы вычислили выше. Переходим к вычислению исходной суммы. Сначала вычислим внутреннюю сумму. Имеем:

\(  \large \sum\limits_{j=1}^{n-k-2}(4j+k-3)=(k-3 ) \sum\limits_{j=1}^{n-k-2}1 + 4\sum\limits_{j=1}^{n-k-2}j=(k-3)(n-k-2) +4 (1+n-k-2)\frac{n-k-2}{2}=  \)

\(  \large =2n^2-3n(k+3) +(k^2+7k+10) \).

Итак,

\(  \large \sum\limits_{k=1}^{n-1} \sum\limits_{j=1}^{n-k-2} (4j+k-3)= \sum\limits_{k=1}^{n-1} (2n^2-3n(k+3) +(k^2+7k+10))=   \)

\(  \large = 2n^2  \sum\limits_{k=1}^{n-1} 1 -3n  \sum\limits_{k=1}^{n-1} k -9n \sum\limits_{k=1}^{n-1} 1  +  \sum\limits_{k=1}^{n-1} k^2+ 7 \sum\limits_{k=1}^{n-1} k +10 \sum\limits_{k=1}^{n-1} 1 \).

Все эти суммы легко найти, используя значения упомянутых в начале сумм.