Автор Тема: Комплексные числа и элементарные функции комплексного переменного  (Прочитано 3146 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Комплексные числа обычно изучаются в курсах теории функций комплексного переменного (ТФКП) и алгебры. На эту тему редко отводится много времени, студентам показывают, что комплексные числа имеют вид \(  \large z=x+iy  \), рассказывают, как эти числа складывать, вычитать, умножать и делить, извлекать корни из комплексных чисел и возводить их в натуральную степень, затрагивается вопрос о переводе комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую и обратно. Зачастую студенты усваивают те несложные навыки, которые перечислены выше, но у них остаётся какое-то недопонимание, им кажется, что комплексные числа - это что-то искусственное. Попробуем для начала объяснить "на пальцах", что такое комплексные числа, а затем уже перейдём к строгим определениям. Далее покажем, как можно использовать комплексные числа, чтобы вспоминать в нужный момент сложные тригонометрические тождества и вычислять значения тригонометрических функций для "нетабличных" углов. Кроме того, в общих чертах рассмотрим такие функции комплексного аргумента, как комплексная экспонента и комплексный логарифм, синус, косинус, тангенс, котангенс в комплексной плоскости, комплексные арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, гиперболические функции, общие степенная и показательная функции.

***

Начнём с некоторых наводящих соображений. С квадратных уравнений. Пусть, например, требуется решить уравнение

\(  \large x^2+3x+2=0  \).

Проблем нет - решаем через дискриминант, с помощью теоремы Вьета или выделяя полный квадрат. Корни есть. Это \(  \large -1  \) и \(  \large -2  \). А что делать, если, как говорят в школе, корней нет? Рассмотрим, например, уравнение

\(  \large 4x^2+4x+10=0  \).

Найдём его дискриминант:

\(  \large D=4^2-4 \cdot 4 \cdot 10=16 \cdot (-9)=-144  \).

Он меньше нуля. Как быть? Начнём вычислять его корни, не обращая внимания на знак дискриминанта. Имеем:

\(  \large x=\frac{-4 + \sqrt{-144}}{8}=-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{-1}  \).

Введём в рассмотрение такой символ \(  \large i  \), что \(  \large i^2=-1  \). Тогда \(  \large \sqrt{-1} =\pm i \). Назовём число \(  \large i  \) мнимой единицей. Очевидно, что это число не является вещественным.

Итак, корнями уравнения являются следующие два числа:

\(  \large -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot i, -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot i  \).

Назовём комплексными числа вида

\(  \large x+y \cdot i  \),

где

\(  \large x,y \in \mathbb{R}, \ i^2=-1  \).

Да, такой подход объясняет происхождение комплексных чисел, но кажется искусственным (хотя искусственность для одного может быть вполне естественной для другого). Конечно, можно добавить, что каждому комплексному числу \(  \large x+ y \cdot i  \) ставится в соответствие (или является его образом при биективном отображении) точку плоскости с координатами \(  \large (x,y)  \), но... всё равно остаётся некоторая недосказанность.

Поступим иначе. Определим комплексное число как упорядоченную пару вещественных чисел \(  \large (x,y)  \). И только. Больше ничего. Комплексное число - это точка плоскости (поскольку любая точка плоскости однозначно определяется упорядоченной парой вещественных чисел), а вещественное число - это точка прямой (будем считать, что такой прямой является ось абсцисс). Таким образом, всякое вещественное число (или действительное; это синонимы) есть число комплексное (но не наоборот!), значит, множество вещественных чисел есть подмножество множества комплексных чисел). Подчеркну, что упорядоченная пара отличается от неупорядоченной тем, что в первом случае порядок следования элементов имеет значение, а во втором нет. Например, \(  \large (1,2) \not = (2,1)  \), а \(  \large \{1,2 \} = \{ 2,1 \}  \).

Далее можно определить две основные операции над комплексными числами - сложение и умножение (а значит, и их результаты - сумму и произведение), а затем и две обратные операции - вычитание и деление соответственно. Результат вычитания - разность, результат деления - частное. Обозначаются эти операции точно так же, как и их аналоги на множестве действительных чисел.
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Комплексные числа и действия над ними


1. Основные определения и теоремы


Определение 1. Комплексным числом \(  \large z \) называется упорядоченная пара чисел \(  \large (x,y) \), где \(  \large x,y \in \mathbb{R}  \), первое из которых \(  \large x \) называется действительной частью, а второе - мнимой частью.

Замечание 1. Действительная часть комплексного числа \(  \large z \) обозначается через \(  \large \textrm{Re} z \), мнимая - через \(  \large \textrm{Im} z \), а само множество комплексных чисел - символом \(  \large \mathbb{C} \).

Замечание 2. Если мнимая часть \(  \large y=0 \), то соответствующую пару \(  \large (x,0) \) отождествляют с числом \(  \large x \in \mathbb{R} \). Это позволяет рассматривать множество \(  \large \mathbb{R} \) как подмножество множества \(  \large \mathbb{C} \). Если действительная часть \(  \large x=0 \), то комплексное число называют мнимым.

Определение 2. Два комплексных числа \(  \large z_1=(x_1,y_1) \) и \(  \large z_2=(x_2,y_2) \) называются равными, если

\(  \large x_1=x_2 \) и \(  \large y_1=y_2 \).

Замечание 3. Комплексное число \(  \large z=(x,y) \) равно нулю, если \(  \large x=0 \) и \(  \large y=0 \).

Определение 3. Суммой комплексных чисел \(  \large z_1=(x_1,y_1) \) и \(  \large z_2=(x_2,y_2) \) называется комплексное число

\(  \large z=(x_1+x_2,y_1+y_2) \).

Определение 4. Произведением комплексных чисел \(  \large z_1=(x_1,y_1) \) и \(  \large z_2=(x_2,y_2) \) называется комплексное число

\(  \large z=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1) \).

Замечание 4. Сумма и произведение комплексных чисел \(  \large z_1 \) и \(  \large z_2 \) обозначаются через \(  \large z_1 + z_2 \) и \(  \large z_1 \cdot z_2 \) соответственно.

***

Используя определения сложения и умножения, а также простейшие свойства вещественных чисел, легко убедиться, что эти операции обладают многими приятными свойствами, аналогичными свойствам вещественных чисел. А именно: сложение и умножение комплексных чисел ассоциативно и коммутативно, есть нейтральные элементы - нуль (относительно сложения) и единица (относительно умножения), для любого комплексного числа есть противоположное, а для любого не равного нулю комплексного числа есть обратное, умножение таких чисел дистрибутивно относительно сложения. Множество с двумя операциями, обладающими такими свойствами, называют полем. Полем является множество комплексных чисел без нуля, поскольку нуль не имеет обратного элемента. Однако не все свойства вещественных чисел переносятся на числа комплексные. Так, вторые, в отличие от первых, образуют неупорядоченное множество, нельзя сравнивать комплексные числа, определять, какое число меньше, а какое - больше.

***

Определение 5. Разностью комплексных чисел \(  \large z_1=(x_1,y_1) \) и \(  \large z_2=(x_2,y_2) \) называется такое комплексное число \(  \large z \), которое в сумме \(  \large z_2 \) даёт \(  \large z_1 \):

\(  \large z+z_2=z_1 \).

Определение 6. Частным комплексных чисел \(  \large z_1=(x_1,y_1) \) и \(  \large z_2=(x_2,y_2) \) называется такое комплексное число \(  \large z \), которое при умножении на \(  \large z_2 \) даёт \(  \large z_1 \):

\(  \large z \cdot z_2=z_1 \).

Замечание 5. Разность и частное комплексных чисел \(  \large z_1 \) и \(  \large z_2 \) обозначаются через \(  \large z_1 - z_2 \) и \(  \large \frac{z_1}{ z_2} \) соответственно.

Теорема 1. Пусть \(  \large z_1=(x_1,y_1) \), \(  \large z_2=(x_2,y_2) \). Тогда:

1) \(  \large z_1-z_2=(x_1-x_2,y_1-y_2) \);

2) \(  \Large \frac{z_1}{z_2}=\left( \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} , \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}  \right) \) (при \(  \large z \not = 0 \)).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
2. Алгебраическая форма комплексного числа


Замечание 6. Обозначим комплексное число \(  \large (0,1) \) буквой \(  \large i \). Тогда \(  \large i^2=(-1,0)=-1 \). Число  \(  \large i \) будем называть мнимой единицей.

Замечание 7. Любое комплексное число \(  \large z=(x,y) \) можно представить в виде

\(  \large z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0) \cdot (0,1)=x+iy \).

Это представление (алгебраическая форма) и рассмотрение \(  \large i \) в качестве множителя, квадрат которого равен \(  \large -1 \), позволяет производить операции с комплексными числами точно так же, как они производятся с алгебраическими многочленами.

Определение 7. Комплексное число \(  \large \bar{z}=(x,-y)=x-iy \) называется сопряжённым по отношению к комплексному числу \(  \large z=(x,y)=x+iy \).

Замечание 8. Произведение сопряжённых комплексных чисел есть вещественное число, поскольку

\(  \large (x+iy)(x-iy)=x^2-i^2y^2=x^2+y^2 \).

Пример 1. Найдём сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел \(  \large z_1=1+2i \), \(  \large z_2=2-3i \).

Чтобы найти сумму и разность комплексных чисел, просто сгруппируем их действительные и мнимые части:

1) \(  \large z_1+z_2=1+2i + 2 - 3i=(1+2)+(2-3)i=3-i \);

2) \(  \large z_1 - z_2=1+2i-(2-3i)=1+2i-2+3i=(1-2)+(2+3)i=-1+5i \).

Вычислим произведение комплексных чисел. Для этого перемножим их как многочлены первого порядка, помня, что \(  \large i^2=-1 \). Имеем:

\(  \large z_1 \cdot z_2=(1+2i) \cdot (2 - 3i) = 1 \cdot 2 + 2i \cdot 2 + 1 \cdot (-3i) + 2i \cdot (-3i)= \)

\(  \large =2+ 4i - 3i - 6i^2=2+i-6 \cdot (-1)=2+i+6=8+i \).

Наконец, найдём частное комплексных чисел. Применим очень удобный приём - умножение и деление дроби на комплексное число, сопряжённое знаменателю. Выглядит это так:

\(  \Large \frac{z_1}{z_2}=\frac{1+2i}{2-3i}=\frac{(1-2i)(1+2i)}{(2-3i)(1+2i)}=\frac{1 \cdot 2 + 2i \cdot 2 + 1 \cdot 3i + 2i \cdot 3i}{2^2+3^2}= \)

\(  \large =\frac{1}{13} \left( 2 + 4i + 3i + 6i^2 \right)=\frac{1}{13} \left(2+7i-6 \right) =-\frac{4}{13} + \frac{7}{13} i  \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
3. Тригонометрическая форма комплексного числа


Замечание 9. Комплексное число \(  \large z=(x,y) \) изображается в прямоугольной системе координат точкой \(  \large M \) с координатами \(  \large (x,y) \) или вектором, идущим из начала координат в точку \(  \large M \).

Замечание 10. Введя дополнительно полярную систему координат так, чтобы полюс находился в начале прямоугольной системы координат, а полярная ось была направлена вдоль положительного направления оси абсцисс, получим полярные координаты точки \(  \large (x,y) \):

\(  \large \rho= \sqrt{x^2+y^2} \), \(  \large \varphi= \begin{cases} \textrm{arctg} \frac{y}{x}, \ если \ x >0 \\ \textrm{arctg} \frac{y}{x}+ \pi , \ если \ x <0, y \ge 0 \\ \textrm{arctg} \frac{y}{x}- \pi , \ если \ x <0, y <0 \\ \frac{\pi}{2}, \ если \ x=0, y>0 \\ -\frac{\pi}{2}, \ если \ x=0, y<0  \end{cases} \).

Учитывая, что \(  \large x = \rho \cos \varphi , y= \rho \sin \varphi \), получим представление, называемое тригонометрической формой комплексного числа:

\(  \large x+iy= \rho \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \).

При этом число \(  \large \rho \) называется модулем (обозначается через \(  \large |z| \)), число \(  \large \varphi + 2 \pi k \), где \(  \large k \in \mathbb{Z} \), называется аргументом комплексного числа (обозначается через \(  \large \textrm{Arg} z \)), а сам угол \(  \large \varphi \) - главным значением аргумента (обозначается через \(  \large \textrm{arg} z \)). Для нуля аргумент не определён.

В дальнейшем, говоря об аргументе комплексного числа, чаще всего будем иметь в виду его главное значение.
 
Определение 8. Корнем \(  \large n \)-й cтепени из комплексного числа \(  \large z=x+iy \) называется такое комплексное число \(  \large z_1 \), что \(  \large n \)-ая степень числа \(  \large z_1 \) равна \(  \large z \):

\(  \large z_1^n=z \).

Замечание 11. Корень \(  \large n \)-й степени из комплексного числа \(  \large z \) обозначается через \(  \Large \sqrt[n]{z} \).

Замечание 12. Корень \(  \large n \)-й степени имеет \(  \large n \) различных значений. Точки, соответствующие значениям \(  \Large \sqrt[n]{z} \), образуют на плоскости правильный многоугольник, вписанный в окружность радиуса \(  \Large \sqrt[n]{|z|} \) с центром в начале координат.

Теорема 2. Пусть

\(  \large z_1=\rho_1 \left( \cos \varphi_1 + i \sin  \varphi_1  \right) \),

\(  \large z_2=\rho_2 \left( \cos \varphi_2 + i \sin  \varphi_2  \right) \).

Тогда:

1) \(  \Large z_1 \cdot z_2=\rho_1 \cdot \rho_2 \cdot  \left( \cos \left(  \varphi_1 + \varphi_2 \right) + i \sin \left(  \varphi_1 + \varphi_2 \right) \right)  \);

2) \(  \Large  \frac{z_1}{ z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2 }\cdot  \left( \cos \left(  \varphi_1 - \varphi_2 \right)  + i \sin \left(  \varphi_1 - \varphi_2 \right) \right) \);

3) \(  \Large z_1^n=\rho_1^n \cdot  \left( \cos \left( n \varphi_1  \right) + i \sin \left(  n \varphi_1  \right) \right)  \);

4) \(  \Large \sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1} \left( \cos \frac{\varphi_1+ 2 k \pi}{n} + i \sin \frac{\varphi_1+ 2 k \pi}{n}  \right)  \), \(  \large k=0,1,2,...,n-1 \).

Замечание 13. Формула 3 из теоремы 2 носит название формулы Муавра.

Замечание 14. Значения корня \(  \large n \)-й степени из комплексного числа обычно обозначают так:

\(  \large \omega_0, \ \omega_1, \ \omega_2 , \ \cdots \ , \omega_{n-1} \).

Пример 2. Представим следующие числа в тригонометрической форме:

\(  \large z_1=2, \ z_2 = 2 + 2i, \ z_3=2i, \ z_4=-2+2i, \ z_5=-2, \ z_6=-2-2i, \ z_7=-2i, \ z_8=2-2i \).

Сначала найдём их модули и аргументы:

1) \(  \large |z_1|=\sqrt{2^2+0^2}=2, \ \textrm{arg} z_1=\textrm{arctg } \frac{0}{2}=0 \);

2) \(  \large |z_2|=\sqrt{2^2+2^2}=2 \sqrt{2}, \ \textrm{arg} z_2=\textrm{arctg } \frac{2}{2}= \frac{\pi}{4} \);

3) \(  \large |z_3|=\sqrt{0^2+2^2}=2 , \ \textrm{arg} z_3= \frac{\pi}{2} \);

4) \(  \large |z_4|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2 \sqrt{2}, \ \textrm{arg} z_4=\textrm{arctg} \left( \frac{2}{-2} \right) + \pi = \pi - \frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \);

5) \(  \large |z_5|= \sqrt{(-2)^2+0^2}=2, \ \textrm{arg} z_5=\textrm{arctg} \left( \frac{0}{-2} \right) + \pi =\pi \);

6) \(  \large |z_6|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=2 \sqrt{2}, \ \textrm{arg} z_6=\textrm{arctg} \left( \frac{-2}{-2} \right)-\pi=\frac{\pi}{4} - \pi=\frac{3 \pi }{4} \);

7) \(  \large |z_7|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2, \ \textrm{arg} z_7=-\frac{\pi}{2} \);

8) \(  \large |z_8|= \sqrt{2^2+(-2)^2}=2 \sqrt{2}, \ \textrm{arg} z_8=\textrm{arctg} \left( \frac{-2}{2} \right)=-\frac{\pi}{4} \).

Следовательно,

1) \(  \large 2= 2 \left( \cos 0 + i \sin 0 \right) \);

2) \(  \large 2+2i= 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \);

3) \(  \large 2i= 2  \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) \);

4) \(  \large -2+2i= 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4} \right) \);

5) \(  \large -2= 2 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \);

6) \(  \large -2-2i= 2 \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{3 \pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3 \pi}{4} \right) \right) \);

7) \(  \large -2i= 2  \left( \cos  \left( - \frac{\pi}{2} \right) + i \sin  \left( - \frac{\pi}{2} \right) \right) \);

8) \(  \large 2-2i= 2 \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{ \pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{ \pi}{4} \right) \right) \).

Пример 3. Вычислим произведение \(  \large z_1z_2 \), если \(  \large z_1=i, \ z_2=\cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( - \frac{\pi}{3} \right)  \). Представим мнимую единицу в тригонометрической форме:

\(  \large i= \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \).

Значит,

\(  \large z_1 z_2= \cos \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} \right)+ i \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} \right)=\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i  \).

Пример 4. Пусть \(  \large z_1=1, \ z_2 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \). Найдём частное \(  \large \frac{z_1}{z_2} \). Поскольку

\(  \large 1 = \cos 0 + i \sin 0 \),

то

\(  \large \frac{z_1}{z_2}=\cos \left( 0 - \frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( 0 - \frac{\pi}{2} \right) =\cos \left(  - \frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left(  - \frac{\pi}{2} \right)=-i \).

Пример 5. Представим комплексное число в тригонометрической форме: \( \sin \varphi + i \cos \varphi  \).

Разделим и умножим данное комплексное число на \( \large -i \). Имеем:

\(  \Large \frac{-i \sin \varphi -i^2 \cos \varphi}{-i}=\frac{\cos \varphi - i \sin \varphi}{\cos \left(-\frac{\pi}{2} \right)+i \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right)}=\frac{\cos(- \varphi) + i \sin (- \varphi)}{\cos \left(-\frac{\pi}{2} \right)+i \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right)} \).

Поделим числитель на знаменатель, используя формулу для частного комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

\(  \Large \frac{\cos(- \varphi) + i \sin (- \varphi)}{\cos \left(-\frac{\pi}{2} \right)+i \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right)}=\cos \left(- \varphi + \frac{\pi}{2} \right)+ i \sin \left(- \varphi + \frac{\pi}{2} \right)=\cos \left( \frac{\pi}{2} - \varphi \right)+ i \sin \left(\frac{\pi}{2}- \varphi \right) \).

Пример 6. Вычислим \(  \large z^3 \), если \(  \large z=1+i \). Представим \(  \large z  \) в тригонометрической форме и воспользуемся формулой Муавра:

\(  \large z^3=\left( \sqrt{2} \right)^3 \left( \cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4}  \right)=2 \sqrt{2} \left( \cos \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) + i \sin  \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right)  \right)=2 \sqrt{2} \left( - \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)-2+2i   \).

Замечание 15. Если показатель степени не велик, \(  \large n \)-ю степень комплексного числа легче найти, не приводя его к тригонометрической форме.

Пример 7. Решим предыдущую задачу иным способом. Используя формулу \(  \large (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \), получим:

\(  \large (1+i)^3=1^3+3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2+i^3=1+3i-3+ i \cdot i^2=-2+2i \).

Пример 8. Вычислим значения корня \(  \large \sqrt{z}  \), если \(  \large z=-i \). Так как

\(  \large -i= \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin  \left( -\frac{\pi}{2} \right)  \),

то

\(  \Large \sqrt{z}= \cos \frac{2 k \pi - \frac{\pi}{2}}{2} + i \sin  \frac{2 k \pi - \frac{\pi}{2}}{2} \),

где \(  \large k=0,1 \).

Следовательно,

\(  \large \omega_0=\cos \left( - \frac{\pi}{4} \right)+ i \sin \left( - \frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i  \),

\(  \large \omega_1=\cos \frac{3 \pi }{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2}i \).
 

Замечание 16. Иногда значения корня \(  \large n \)-й степени из комплексного числа можно найти и не прибегая к помощи тригонометрии.

Пример 9. Решим предыдущую задачу сугубо алгебраическим способом. Пусть \(  \large \sqrt{-i}=x+iy \). Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим:

\(  \large 0-i=x^2-y^2 + 2xyi \).

Следовательно, используя определение равенства комплексных чисел, имеем систему уравнений:

\(  \large \begin{cases}x^2-y^2=0 \\ 2xy=1 \end{cases} \).

Найдём её вещественные решения (поскольку \(  \large x \) и \(  \large y \) - вещественные числа). Имеем:

\(  \large \begin{cases}x^2-y^2=0 \\ 2xy=1 \end{cases} \ \leftrightarrow \ \begin{cases} x = \pm y \\ y = -\frac{1}{2x} \end{cases}  \).

При \(  \large x=y \) получим \(  \large 2x^2=-1 \). Значит, \(  \large x \not \in \mathbb{R} \). Следовательно, этот вариант далее не рассматриваем. Продолжим:

\(  \large \begin{cases} x = -y \\ y = -\frac{1}{2x} \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x=-y \\ y = -\frac{1}{2x} \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x^2=\frac{1}{2} \\ y=-\frac{1}{2x} \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases}x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y =-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases} x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y =\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}  \).

Итак,

\(  \large \omega_0=\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \);

\(  \large \omega_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
4. Показательная (экспоненциальная) форма комплексного числа


Замечание 17. Используя разложения

\(  \Large e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}  \), \(  \Large \sin x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \), \(  \Large \cos x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \),

нетрудно показать, что \(  \large e^{ix}= \cos x + i \sin x \). Следовательно, любое комплексное число, не равное нулю, можно представить в показательной (экспоненциальной) форме:

\(  \large z=x+iy= \rho e^{i \varphi} \),

где \(  \large \rho=|z|,  \ \varphi=\textrm{arg } z \).

Замечание 18. Для двух представленных в показательной форме комплексных чисел

\(  \Large z_1= \rho_1 e^{i \varphi_1}, \ z_2=\rho_2 e^{i \varphi_2}  \)

очевидны следующие формулы:

1) \(  \Large z_1 z_2= \rho_1 \rho_2 e^{i ( \varphi_1 + \varphi_2)} \);

2) \(  \Large \frac{ z_1}{ z_2}= \frac{\rho_1}{ \rho_2} e^{i ( \varphi_1 -\varphi_2)} \);

3) \(  \Large z_1^n=\rho_1^n e^{i n \varphi} \).

Пример 10. Пусть \(  \large z_1= -1+i \), \(  \large z_2= \sqrt{2} e^{\frac{i \pi }{4}} \). Найдём \(  \large z_1z_2 \). Поскольку

\(  \Large z_1=\sqrt{2} e^{\frac{3 i \pi}{4}} \),

то

\(  \Large z_1z_2=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot e^{i \left( \frac{3 \pi}{4}+\frac{\pi}{4} \right)}=2 e^{i \pi}=2 (\cos \pi + i \sin \pi)=-2 \).

Пример 11. Вычислим \(  \large \frac{z_1}{z_2} \), если \(  \Large z_1=e^{\frac{i \pi}{3}} \), \(  \Large z_2=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i \). Представим \(  \large z_2 \) в показательной форме:

\(  \Large z_2=e^{-\frac{i \pi}{6}}  \).

Следовательно,

\(  \Large \frac{z_1}{z_2}=e^{i \left( \frac{\pi}{3} - \left(- \frac{pi}{6} \right) \right)}=e^{\frac{i \pi }{2}}=cos \frac{\pi}{2} + i \cos \frac{\pi}{2}=i  \).

Пример 12. Найдём \(  \large z^4 \), если \(  \large z=1+i \). Так как

\(  \Large  1+i= \sqrt{2} e^{\frac{i \pi }{4}} \),

то

\(  \Large  z^4=(\sqrt{2})^4 \cdot e^{\frac{i \pi }{4} \cdot 4}=4 e^{i \pi}=4 ( \cos \pi + i \sin \pi)=-4 \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Комплексные числа и тригонометрия


1. Вывод тригонометрических тождеств с помощью комплексных чисел


Формулы тригонометрии, изучаемые в средней школе, обычно поражают школьников своим количеством и практически не поддаются запоминанию. Речь, конечно же, не идёт об основном тригонометрическом тождестве и других легко запоминающихся формулах:

\(  \large \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha =1 \), (1)

\(  \large \textrm{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), (2)

\(  \large \textrm{ctg} \alpha =\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \). (3)

Деля почленно тождество (1) на \(  \large \cos^2 \alpha \) и используя формулу (2), получим:

\(  \large \frac{1}{\cos^2 \alpha}=1+ \textrm{tg}^2 \alpha \). (4)

Аналогично получим ещё одну формулу:

\(  \large \frac{1}{\sin^2 \alpha}=1+ \textrm{ctg}^2 \alpha \). (5)

Остальные тригонометрические тождества легко вывести, если знать основы теории комплексных чисел. Следует отметить, что в точном смысле слова это не вывод формул тригонометрии, поскольку сами формулы теории комплексных чисел в части, касающейся тригонометрической формы, доказываются с использованием тригонометрических тождеств. Однако это довольно простой способ вспомнить тригонометрические тождества в тех случаях, когда нельзя пользоваться учебниками и справочниками, например, на экзамене.

Итак, продемонстрируем, как вывести формулы тригонометрии, используя комплексные числа. Пусть \(  \large z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha  \), \(  \large z_2 = \cos \beta + i \sin \beta  \) - некоторые комплексные числа, записанные в тригонометрической форме. Найдём их произведение двумя способами. Во-первых, перемножим их непосредственно, помня, что \(  \large i^2=-1 \). Имеем:

\(  \large z_1z_2=(\cos \alpha + i \sin \alpha) (\cos \beta + i \sin \beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta + i \left(  \sin \alpha \cos \beta +  \sin \beta \cos \alpha \right) \).

Во-вторых, найдём произведение, используя формулу для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Вспомним, что в данном случае модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Получим:

\(  \large z_1 z_2= \cos (\alpha + \beta) + i \sin ( \alpha + \beta) \).

Значит,

\(  \large  \cos (\alpha + \beta) + i \sin ( \alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta + i \left(  \sin \alpha \cos \beta +  \sin \beta \cos \alpha \right) \).

Два комплексных числа считаются равными тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Следовательно,

\(  \large \cos (\alpha + \beta) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta  \), (6)

\(  \large \sin ( \alpha + \beta)=  \sin \alpha \cos \beta +  \sin \beta \cos \alpha  \). (7)

Нами получены формулы косинуса и синуса суммы.

Положим \(  \large - \beta \) вместо \(  \large \beta \) в формулах (6) и (7) и вспомним о чётности косинуса и нечётности синуса. Имеем:

\(  \large \cos (\alpha - \beta) =\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta  \), (8)

\(  \large \sin ( \alpha - \beta)=  \sin \alpha \cos \beta -  \sin \beta \cos \alpha  \). (9)

Таким образом, получены формулы косинуса и синуса разности.

Складывая почленно формулы (6) и (8), получим формулу преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

\(  \large \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2 } \left[ \cos ( \alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \right] \). (10)

Вычитая почленно формулу (6) из формулы (8), получим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:

\(  \large \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left[ \cos ( \alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta) \right]  \). (11)

Складывая почленно формулы (7) и (9), получим формулу преобразования произведения синуса и косинуса в сумму косинусов:

\(  \large \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left[ \sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta) \right] \). (12)

Путём почленного деления формулы (7) на формулу (6) и несложных преобразований, получим формулу тангенса суммы:

\(  \Large \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}=\frac{\sin \alpha \cos \beta +  \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta} \ \Leftrightarrow \)

\(  \LARGE \Leftrightarrow \ \textrm{tg} (\alpha + \beta)=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} -\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} } \ \Leftrightarrow \)

\(  \Large \Leftrightarrow \ \textrm{tg} (\alpha + \beta) =\frac{\textrm{tg} \alpha + \textrm{tg} \beta}{1- \textrm{tg} \alpha \cdot  \textrm{tg} \beta} \). (13)

Аналогично, разделив почленно формулу (9) на формулу (8), получим формулу тангенса разности:
 
\(  \Large \textrm{tg} (\alpha - \beta) =\frac{\textrm{tg} \alpha - \textrm{tg} \beta}{1+ \textrm{tg} \alpha \cdot \textrm{tg} \beta} \). (14)

При необходимости можно вывести формулы котангенса суммы и котангенса разности.

Положим \(  \large \beta = \alpha \) в формулах (6), 7 и 13. Получим формулы синуса, косинуса и тангенса двойных углов:

1) \(  \large \sin (\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \ \Leftrightarrow \)

\(  \large \ \Leftrightarrow \ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha  \), (15)

2) \(  \large \cos (\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \ \Leftrightarrow \)

\(  \large \ \Leftrightarrow \ \cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha  \), (16)

3) \(  \Large \textrm{tg} (\alpha + \alpha)=\frac{\textrm{tg} \alpha + \textrm{tg} \alpha}{1-\textrm{tg} \alpha \cdot \textrm{tg} \alpha} \ \Leftrightarrow  \)

\(  \Large \Leftrightarrow \ \textrm{tg} 2 \alpha =\frac{2 \textrm{tg} \alpha }{1-\textrm{tg}^2 \alpha }   \). (17)

Выведем формулы половинного угла. Для этого используем основное тригонометрическое тождество и формулы синуса и косинуса двойных углов:

1) \(  \LARGE \sin \alpha=\sin \left( 2 \cdot \frac{\alpha}{2}  \right)= \frac{ \sin \left( 2 \cdot \frac{\alpha}{2}  \right)}{1}=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} }{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} }{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}=\frac{2 \textrm{tg} \frac{\alpha}{2}}{1+ \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}} \),

2) \(  \LARGE \cos \alpha=\cos \left( 2 \cdot \frac{\alpha}{2}  \right)= \frac{ \cos \left( 2 \cdot \frac{\alpha}{2}  \right)}{1}=\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} }{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} }{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}=\frac{1- \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}}{1+ \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}} \),

3) \(  \Large \textrm{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha}=\frac{2 \textrm{tg} \frac{\alpha}{2}}{1+ \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{1+ \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}}{1- \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \textrm{tg} \frac{\alpha}{2}}{1- \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}} \).

Итак,

1) \(  \LARGE \sin \alpha=\frac{2 \textrm{tg} \frac{\alpha}{2}}{1+ \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}} \), (18)

2) \(  \LARGE \cos \alpha=\frac{1- \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}}{1+ \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}} \), (19)

3) \(  \Large \textrm{tg} \alpha =\frac{2 \textrm{tg} \frac{\alpha}{2}}{1- \textrm{tg}^2  \frac{\alpha}{2}} \). (20)

Выведем формулы понижения степени. Поскольку

\(  \Large 1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha  \),

\(  \Large \cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha  \),

то

\(  \Large 1+ \cos 2 \alpha=\cos^2 \alpha + \sin^2\alpha  + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha =2 \cos^2 \alpha \),

\(  \Large 1 - \cos 2 \alpha= \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - \left(  \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \right)=2 \sin^2 \alpha  \).

Следовательно,

\(  \large \cos^2 \alpha =\frac{1+ \cos \alpha}{2} \), (21)

\(  \large \sin^2 \alpha =\frac{1- \cos \alpha}{2} \), (22)

\(  \large \textrm{tg}^2 \alpha=\frac{1- \cos \alpha}{1+ \cos \alpha} \). (23)

Часто требуются формулы синуса и косинуса тройных углов. Пусть \(  \large z= \cos \varphi + i \sin \varphi \) - некоторое комплексное число. Тогда, с одной стороны,

\(  \large z^3=\cos 3 \varphi + i \sin 3 \varphi \),

с другой стороны,

\(  \large z^3=\cos^3 \varphi + 3 \cos^2 \varphi \cdot i \sin \varphi + 3 \cos \varphi \cdot i^2 \sin^2 \varphi+ i^3 \sin^3 \varphi=\cos^3 \varphi - 3 \cos \varphi \sin^2 \varphi+ i(3 \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^3 \varphi) \).

Следовательно,

\(  \large \cos 3 \varphi + i \sin 3 \varphi=\cos^3 \varphi - 3 \cos \varphi \sin^2 \varphi+ i(3 \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^3 \varphi) \).

Тогда, используя определение равенства комплексных чисел и формулу (1), получим:

\(  \large \cos 3 \varphi = \cos^3 \varphi - 3 \cos \varphi \sin^2 \varphi=\cos^3 \varphi - 3 \cos \varphi (1- \cos^2 \varphi)=4 \cos^3 \varphi - 3 \cos \varphi \),

\(  \large \sin 3 \varphi=3 \cos^2 \varphi \sin \varphi - \sin^3 \varphi=3(1- \sin^2 \varphi) \sin \varphi-\sin^3 \varphi = 3 \sin \varphi- 4 \sin^3 \varphi  \).

Итак,

\(  \large \cos 3 \varphi = 4 \cos^3 \varphi - 3 \cos \varphi \), (24)

\(  \large \sin 3 \varphi= 3 \sin \varphi- 4 \sin^3 \varphi  \). (25)

Снова сложим почленно формулы (6) и (8). Получим:

\(  \large \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)=2 \cos \alpha \cos \beta \).

Пусть

\(  \large \alpha + \beta=x, \ \alpha - \beta =y \).

Тогда, решая систему этих уравнений относительно \(  \large \alpha  \) и \(  \large \beta \), имеем:

\(  \large \alpha=\frac{x+y}{2}, \ \beta = \frac{x-y}{2} \).

Следовательно,

\(  \large \cos x + \cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \). (26)

Вывели формулу суммы косинусов.

Вычитая почленно формулу (8) из формулы (6), получим формулу разности косинусов:

\(  \large \cos x - \cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \). (27)

Совершенно аналогично получаем формулы суммы и разности синусов:

1) \(  \large \sin x + \sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \), (28)

2) \(  \large \sin x - \sin y=2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} \). (29)

Используя формулы (13) и (6), нетрудно вывести формулу суммы тангенсов. Имеем:

\(  \Large \textrm{tg} (x+y)=\frac{\textrm{tg} x + \textrm{tg} y}{1-\textrm{tg} x \cdot \textrm{tg} y} \ \Rightarrow \  \)

\(  \Large \textrm{tg} x + \textrm{tg} y=  \textrm{tg} (x+y)( 1-\textrm{tg} x \cdot \textrm{tg} y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)} \cdot \left( 1 - \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} \right)= \)

\(  \Large = \frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)} \cdot   \frac{\cos x \cos y- \sin x \sin y}{\cos x \cos y}=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)} \cdot   \frac{\cos (x+y)}{\cos x \cos y} =\frac{\sin (x+y)}{\cos x \cos y} \).

Итак,

\(  \Large \textrm{tg} x + \textrm{tg} y=\frac{\sin (x+y)}{\cos x \cos y} \). (30)

Аналогично можно вывести формулу разности тангенсов:

\(  \Large \textrm{tg} x - \textrm{tg} y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x \cos y} \). (31)
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
2. Значения тригонометрических функций нестандартных углов


Используя теорию комплексных чисел, можно находить значения тригонометрических функций некоторых нестандартных углов. Вычислим, например, значение \(  \large \sin \frac{\pi}{5} \). Пусть \(  \large \frac{\pi}{5}=\varphi \).  Рассмотрим некоторое комплексное число \(  \large z= \cos \varphi + i \sin \varphi \). Возведём его в пятую степень двумя способами. Во-первых, используем формулу \(  \large (x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2 + 10x^2y^3+5xy^4+y^5 \). Имеем:

\(  \large z^5=\cos^5 \varphi + 5 \cos^4 \varphi \cdot i \sin \varphi + 10 \cos^3 \varphi \cdot i^2 \sin^2 \varphi + 10 \cos^2 \varphi \cdot i^3 \sin^3 \varphi + 5 \cos \varphi \cdot i^4 \sin^4 \varphi+ i^5 \sin^5 \varphi= \)

\(  \large =\cos^5 \varphi - 10 \cos^3 \varphi \sin^2 \varphi + 5 \cos \varphi \sin^4 \varphi+ i ( 5 \cos^4 \varphi \sin \varphi - 10 \cos^2 \varphi \sin^3 \varphi+ \sin^5 \varphi) \).

Во-вторых, воспользуемся формулой \(  \large z^n=\rho^n \left( \cos n \varphi + i \sin n \varphi \right) \). Получим:

\(  \large z^5=\cos 5 \varphi + i \sin 5 \varphi \).

Поскольку равенство комплексных чисел означает равенство их действительной и мнимой частей соответственно, то

\(  \large \sin 5 \varphi =5 \cos^4 \varphi \sin \varphi - 10 \cos^2 \varphi \sin^3 \varphi+ \sin^5 \varphi \ \Leftrightarrow \ 16 \sin^5 \varphi - 20 \sin^3 \varphi + 5 \sin \varphi=\sin 5 \varphi  \).

Вспомним, что \(  \large \varphi=\frac{\pi}{5} \). Значит, \(  \large \sin 5 \varphi=\sin \pi =0 \). Следовательно, положив \(  \large \sin \varphi = y \), получим следующее уравнение:

\(  \large 16y^5 - 20y^3+5y=0 \).

Очевидно, что \(  \large y \not =0 \). Сокращая на \(  \large y \), приходим к биквадратному уравнению:

\(  \large 16y^4-20y^2+5=0 \).

Пусть \(  \large y^2=x \ge 0 \). Тогда биквадратное уравнение приводится к квадратному:

\(  \large 16x^2-20x+5=0 \ \Leftrightarrow \ x=\frac{5 \pm \sqrt{5}}{8} \).

Итак, уравнение \(  \large 16y^4-20y^2+5=0 \) имеет четыре вещественных корня:

\(  \Large y_1=-\frac{\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} \), \(  \Large y_2=\frac{\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} \), \(  \Large y_3=-\frac{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} \), \(  \Large y_4= \frac{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} \).

Очевидно, что \(  \large \sin \frac{\pi}{5} \not =-\frac{\sqrt{5 \pm \sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} \), поскольку синус в первой четверти неотрицателен. Покажем, что \(  \large \sin \frac{\pi}{5} \not =\frac{\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} \). Так как \(  \large \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{4} \), то, в силу монотонности синуса в первой четверти, должно выполняться неравенство \(  \large \sin \frac{\pi}{5} < \sin \frac{\pi}{4} \). Однако оно не выполняется, если принять \(  \large \sin \frac{\pi}{5}  \) равным \(  \large \frac{\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} \). Имеем:

\(  \large  \frac{\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} < \frac{\sqrt{2}}{2} \ \Leftrightarrow \ 5 + \sqrt{5} < 4 \).

Пришли к утверждению, ложность которого очевидна.

Итак, \(  \large \sin \frac{\pi}{5} =  \frac{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Элементарные функции комплексного переменного


1. Показательная функция


Показательная функция комплексного переменного определяется как сумма степенного ряда:

\(  \Large e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, \ z \in \mathbb{C}  \).

Данная функция является периодической:

\(  \Large \left( \forall z \in \mathbb{C} \right) \ \large \left( \forall k \in \mathbb{Z} \right) \left( e^{z+2k \pi i}=e^{z} \right) \).



2. Тригонометрические функции


Тригонометрические функция комплексного переменного определяются следующим образом:

1) \(  \Large \sin z= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \ z \in \mathbb{C}  \),

2) \(  \Large \cos z= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}, \ z \in \mathbb{C}  \),

3) \(  \Large \textrm{tg} z= \frac{\sin z}{\cos z}  \),

4) \(  \Large \textrm{ctg} z= \frac{\cos z}{\sin z}  \).


3. Связь показательной и тригонометрических функций комплексного переменного


Используя определения функций \(  \large e^z \), \(  \large \sin z \), \(  \large \cos z \), легко показать, что справедлива формула Эйлера:

\(  \large e^{iz}=\cos z + i \sin z \).

Следовательно, косинус и синус комплексного переменного выражаются через показательную функцию комплексного переменного:

1) \(  \Large \cos z = \frac{e^{iz}+ e^{- iz}}{2} \),

2) \(  \Large \sin z = \frac{e^{iz}- e^{- iz}}{2i} \).


4. Гиперболические функции


Гиперболические функции комплексного переменного определяются через показательную функцию:

1) \(  \Large \textrm{sh} z= \frac{e^z-e^{-z}}{2}  \) (гиперболический синус),

2) \(  \Large \textrm{ch} z= \frac{e^z+e^{-z}}{2}  \) (гиперболический косинус),

3) \(  \Large \textrm{th} z= \frac{\textrm{sh} z}{\textrm{ch} z}  \) (гиперболический тангенс),

4) \(  \Large \textrm{cth} z= \frac{\textrm{ch} z}{\textrm{sh} z}  \) (гиперболический котангенс).


5. Связь тригонометрических и гиперболических функций комплексного переменного


Используя формулы

\(  \Large  \sin z=  \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \), \(  \Large \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \),

нетрудно показать, что справедливы следующие соотношения:

1) \(  \large \sin z= - i \textrm{sh} i z \),

2) \(  \large \cos z=  \textrm{ch} i z \),

3) \(  \large \textrm{tg} z=- i \textrm{th} iz \),

4) \(  \large \textrm{ctg} z= i \textrm{cth} iz \),

5) \(  \large \textrm{sh} z= - i \sin i z \),

6) \(  \large \textrm{ch} z= \cos iz \),

7) \(  \large \textrm{th }z= - i \textrm{tg} i z \),

8) \(  \large \textrm{cth }z= i \textrm{ctg} i z \).

Пример 1. Найдём \(  \large \cos (\pi + i \ln 2) \).

Поскольку

\(  \large \cos ( \alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \),

\(  \large \cos z = \textrm{ch} iz \),

\(  \Large \textrm{ch } z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}  \),

то

\(  \large \cos ( \pi + i \ln 2)=\cos \pi \cos (i \ln 2)- \sin \pi \sin (i \ln 2)=- \cos ( i \ln 2)=-\textrm{ch} (i^2 \ln 2)= \)

\(  \Large =- \textrm{ch}(- \ln 2)=-\frac{1}{2} \left( e^{- \ln 2}+ e^{\ln 2} \right)= -\frac{1}{2} \left(e^{\ln 2^{-1}}+ e^{\ln 2} \right)=-\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}=-\frac{5}{4}  \).

Пример 2. Запишем число \(  \large \textrm{tg} \left( \frac{\pi i}{2} \right) \) в алгебраической форме.

Так как

\(  \large \textrm{tg } z= - i \textrm{th} (iz) \),

\(  \large \textrm{th} (-z)=-\textrm{th} z \),

то

\(  \large \textrm{tg} \left( \frac{\pi i}{2} \right)=-i \textrm{th} \left(  \frac{\pi i^2}{2} \right)=- i \textrm{th} \left( -\frac{\pi}{2} \right)=i \textrm{th} \frac{\pi}{2} \).

Пример 3. Представим число \(  \sin \pi i \) в алгебраической форме.

Известно, что

\( \sin z=-i  \textrm{sh}  (iz) \).

Тогда

\( \sin (iz)=-i  \textrm{sh} \  (i^2 z)=-i  \textrm{sh}  (-z)=i  \textrm{sh} z \).

Значит,

\( \sin \pi i=i  \textrm{sh}  \pi \).

6. Логарифмическая функция комплексного переменного


Логарифмическая функция комплексного переменного определяется как функция, обратная показательной, причём

\(  \large \textrm{Ln} z= \ln |z| + i \textrm{Arg} z= \ln |z| + i \textrm{arg} z +2 k \pi i \).

Данная функция многозначна. Главным значением \(  \large \textrm{Ln} z \) называется то значение, которое получается при \(  \large k=0 \):

\(  \large \ln z= \ln |z| + i \textrm{arg}z \).

Очевидно, что

\(  \large \textrm{Ln} z= \ln z + 2 k \pi i \).

Пример 4. Найдём \(  \large \textrm{Ln} (-1-i) \).

Поскольку

\(  \large |-1-i|=\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}=\sqrt{2} \),

\(  \large \textrm{arg} (-1-i)=-\pi + \textrm{arctg} \left(  \frac{-1}{-1} \right)=\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{3 \pi}{4} \),

то

\(  \large \textrm{Ln} (-1-i)=\ln \sqrt{2} - \frac{3 \pi}{4} i + 2k \pi i=\ln \sqrt{2}+ \left( 2k - \frac{3}{4} \right) \pi i \).


7. Обратные тригонометрические функции



Обратные тригонометрические функции комплексного переменного являются многозначными и выражаются через логарифмические функции:

1) \(  \large \textrm{Arcsin} z=- i \textrm{Ln} \left( iz + \sqrt{1-z^2 }\right) \),

2) \(  \large \textrm{Arccos} z=- i \textrm{Ln} \left( z + \sqrt{z^2-1 }\right) \),

3) \(  \large \textrm{Arctg} z=-\frac{i}{2} \textrm{Ln} \frac{1+iz}{1-iz} \),

4) \(  \large \textrm{Arcctg} z=-\frac{i}{2} \textrm{Ln} \frac{z+i}{z-i} \).

Главные значения обратных тригонометрических функций комплексного переменного получаются, если брать главные  значения соответствующих логарифмических функций.

Пример 5. Вычислим арксинус мнимой единицы.

Так как

\(  \large \textrm{Arcsin} z=- i \textrm{Ln} \left( iz + \sqrt{1-z^2 }\right) \),

то

\(  \large \textrm{Arcsin} i=- i \textrm{Ln} \left( i^2 + \sqrt{1-i^2} \right)=-i \textrm{Ln} (-1 \pm \sqrt{2}) \).

Поскольку

\(  \large  \textrm{Ln} z=  \ln |z| + i \textrm{arg} z +2 k \pi i \),

то

\(  \large -i \textrm{Ln} (-1 \pm \sqrt{2})=-i \ln |-1 \pm \sqrt{2}|-i^2 \textrm{arg} (-1 \pm \sqrt{2}) - 2 k \pi i^2=-i \ln |-1 \pm \sqrt{2}|+\textrm{arg} (-1 \pm \sqrt{2})+ 2 k \pi  \).

Осталось вычислить модули и аргументы двух вещественных чисел:

1) \(  \large \left|-1+ \sqrt{2} \right|=-1+ \sqrt{2} \), \(  \large \textrm{arg} (-1+ \sqrt{2}) = 0 \),

2) \(  \large \left|-1-\sqrt{2} \right|=1+ \sqrt{2} \), \(  \large \textrm{arg} (-1- \sqrt{2}) = \pi \).

Следовательно,

\(  \large \textrm{Arcsin } i=-i \ln |-1 + \sqrt{2}|+\textrm{arg} (-1 + \sqrt{2})+ 2 k \pi=2 k \pi- i \ln (\sqrt{2}-1)  \),

\(  \large \textrm{Arcsin } i=-i \ln |-1 - \sqrt{2}|+\textrm{arg} (-1 - \sqrt{2})+ 2 k \pi=- i \ln (\sqrt{2}+1)+ \pi+ 2 k \pi=(2k+1) \pi- i \ln (\sqrt{2}+1) \).

Пример 6. Найдём корни уравнения \(  \large \sin z=3 \).

Очевидно, что задача сводится к вычислению \(  \large \textrm{Arcsin} 3 \). Используя формулы, выражающие арксинус через логарифмическую функцию, и определение логарифма комплексного переменного, получим:

\(  \large \textrm{Arcsin } 3 = - i \textrm{Ln} \left( 3 i + \sqrt{1-3^2} \right)=- i \textrm{Ln} \left( 3 i + \sqrt{-8} \right)= \)

\(  \large =- i \textrm{Ln} \left( (3  \pm \sqrt{8})i \right)=-i \ln |(3 \pm \sqrt{8})i| + \textrm{arg} \left( (3 + \sqrt{8})i \right)+ 2 k \pi= \pi \left( 2k+ \frac{1}{2} \right)- i \ln \left( 3 \pm \sqrt{8} \right) \).

Данный пример показывает, что синус комплексного переменного (как, впрочем, и косинус) не ограничен в комплексной плоскости. Однако это не противоречит ограниченности данных функций на вещественной прямой (в частности, рассмотренное выше уравнение не имеет ни одного вещественного решения).


8. Общая степенная функция.


Общая степенная функция определяется равенством

\(  \Large z^a=e^{a \textrm{Ln} z} \),

где \(  \large a \in \mathbb{C} \).

Данная функция многозначна. Её главное значение определяется главным значением соответствующего логарифма:

\(  \large z^a=e^{a \ln z} \).


9. Общая показательная функция.


Общая показательная функция определяется равенством

\(  \Large a^z=e^{z \textrm{Ln} a} \),

где \(  \large a \in \mathbb{C} \setminus{0} \).

Как и общая степенная функция, эта функция многозначна, а её главное значение определяется главным значением соответствующей логарифмической функции:

\(  \large a^z=e^{z \ln a} \).

Пример 7. Вычислим \(  \Large i^{i}  \). Имеем:

\(  \Large i^i=e^{i \textrm{Ln} i}=e^{i \left( \ln |i|+ i \textrm{arg} i + 2 k \pi i \right)}=e^{i \left( \ln 1+  \frac{\pi}{2}i + 2 k \pi i \right)}=e^{-\pi \left(\frac{1}{2}+ 2k \right)} \).
 
Сказали спасибо: Alexey