Антисимметричные отношения

[Alexandr]

Помогите пожалуйста решить.

Установите истинность или ложность каждого из приведенных ниже высказываний.
Для каждого ложного высказывания приведите контрпример:

Если отношения R и S антисимметричны, то отношение R S
антисимметрично.

[Admin]

R S - это композиция отношений?

[Alexandr]

честно я без понятияБ я не сильно в этом разобрался. там кроме этого в задании больше ничего нет.

[Admin]

Понятно. Будем считать, что речь идёт о композиции.

[Admin]

Отношение \(  \large R \) называется антисимметричным, если \(  \large (\forall z,y \in R)(((z,y) \in R \wedge (y,z) \in R) \to (z=y)) \). Отношение \(  \large S \)  называется антисимметричным, если  \(  \large (\forall x,z \in R)(((x,z) \in R \wedge (z,x) \in R) \to (x=z)) \).

Композицией отношений \(  \large S \) и \(  \large R \) называется множество всех таких пар \(  \large (x,y) \), что \(  \large (\exists z) ((x,z) \in S \wedge (z,y) \in R) \). Обозначение: \(  \large RS \).

Нужно доказать или опровергнуть, что \(  \large (\forall x,y \in RS)(((x,y) \in RS \wedge (y,x) \in RS) \to (x=y)) \).
Я точно знаю, что композиция может не являться антисимметричной. Надо подумать над контрпримером...

[Alexandr]

Спасибо большое.

[Admin]

Пока не за что. Надо придумать контрпример.

[Admin]

К сожалению, контрпример я так и не смог придумать.

[Alexandr]

Спасибо огромное. А как это ответ можно по проще записать. Просто мы такого еще не учили.     (((Отношение R называется антисимметричным, если (∀z,y∈R)(((z,y)∈R∧(y,z)∈R)→(z=y)). Отношение S  называется антисимметричным, если  (∀x,z∈R)(((x,z)∈R∧(z,x)∈R)→(x=z)).

Композицией отношений S и R называется множество всех таких пар (x,y), что (∃z)((x,z)∈S∧(z,y)∈R). Обозначение: RS.

Нужно доказать или опровергнуть, что (∀x,y∈RS)(((x,y)∈RS∧(y,x)∈RS)→(x=y)).
Я точно знаю, что композиция может не являться антисимметричной. )))

[Admin]

Alexandr, к сожалению, я пока не ответил на Ваш вопрос, так как не доказал истинность утверждения и не привёл контрпример, доказывающий его ложность.

[Admin]

Вот контрпример. Догадался не сам. Мне подсказали.
Пусть R={(1,1);(1,2)}, S={(1,1);(2,1)}. Эти отношения антисимметричны, но их композиция RS не является антисимметричной.

[Alexandr]

Спасибо огромное вы очень помогли

[Admin]

Пожалуйста. Приходите с другими задачами.