Автор Тема: Предел последовательности-3  (Прочитано 252 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Parviz

  • Пользователь
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
Предел последовательности-3
« : Октябрь 11, 2015, 06:00:40 pm »
Нужно вычислить предел последовательности:

\(  \Large \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1+3+5+ \cdots + (2n-1)}{1+2+3+ \cdots +n} \).

Как решить?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Предел последовательности-3
« Ответ #1 : Октябрь 12, 2015, 12:26:56 pm »
Найдём сумму \(  \large n \) членов арифметической прогрессии в числителе. Здесь первый член \(  \large a_1=1 \), разность \(  \large b=2 \). Имеем: \(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)=\frac{(2+2(n-1))n}{2}=n^2 \). Аналогично находим сумму арифметической прогрессии в знаменателе: \(  \large \sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{n^2+n}{2} \). Итак, \(  \large \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1+3+5+ \cdots + (2n-1)}{1+2+3+\cdots +n}=2\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+n}=2 \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}}= 2 \cdot \frac{1}{1+0}=2 \).