Автор Тема: Доказать тождество, исходя из определения равенства множеств  (Прочитано 1132 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Никита

  • Пользователь
  • Сообщений: 32
    • Просмотр профиля
Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, докажите тождество \(  \large A \cup (B \cap C)= (A \cup B) \cap (A \cup C) \).

 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Исходя из определения равенства множеств
« Ответ #1 : Октябрь 11, 2015, 03:33:30 pm »

 

Согласно определению, пересечением множеств \(  \large X \) и \(  \large Y \) называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству \(  \large X \) и множеству \( \large Y \), а объединением множеств \(  \large X \) и \(  \large Y \) - множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству \( \large X \) или множеству \( \large Y \). Итак,

\( \Large X \cap Y \stackrel{def}{\Leftrightarrow} a \in X \wedge a \in Y \\ \Large X \cup Y \stackrel{def}{\Leftrightarrow} a \in X \vee a \in Y  \)

Используя данные выше определения, а также дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции, докажем, что

\(  \large A \cup ( B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C) \).

Имеем:

\(  \large  A \cup ( B \cap C) \ \Leftrightarrow \ x \in  A \cup ( B \cap C) \ \Leftrightarrow \ x \in A \vee x \in B \cap C \ \Leftrightarrow \ x \in A \vee ( x \in B \wedge x \in C) \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in C) \ \Leftrightarrow (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
 

Оффлайн Никита

  • Пользователь
  • Сообщений: 32
    • Просмотр профиля
Re: Исходя из определения равенства множеств
« Ответ #2 : Октябрь 11, 2015, 06:25:31 pm »
Спасибо за ваше решение!
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Исходя из определения равенства множеств
« Ответ #3 : Октябрь 11, 2015, 07:49:13 pm »
Пожалуйста.
 

Оффлайн Никита

  • Пользователь
  • Сообщений: 32
    • Просмотр профиля
Re: Исходя из определения равенства множеств
« Ответ #4 : Октябрь 25, 2015, 01:53:09 pm »
Приветствую, ещё раз, уважаемый!!!!
В задании нужно ещё проверить тождество с помощью диаграмм Эйлера-Венна, не могли бы мне помочь их нарисовать?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Исходя из определения равенства множеств
« Ответ #5 : Октябрь 27, 2015, 11:47:21 am »
Диаграммы: