Автор Тема: Записать на языке логики предикатов  (Прочитано 294 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Никита

  • Пользователь
  • Сообщений: 32
    • Просмотр профиля
Записать на языке логики предикатов
« : Октябрь 11, 2015, 02:09:02 pm »
Записать на языке логики предикатов следующее определение: "Функция \(  \large f(x) \) называется чётной на множестве \(  \large M \), если область её определения симметрична относительно начала координат и для каждого \(  \large x \) из области определения справедливо равенство \(  \large f(-x)=f(x) \).
Построить отрицание этого определения и сформулировать определение функции, не являющейся чётной.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Записать на языке логики предикатов
« Ответ #1 : Октябрь 12, 2015, 02:59:49 pm »
Переведём на язык логики предикатов предложение "Область определения функции симметрична относительно начала координат". Имеем: \(  \large (\forall x_1 \in M) (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2) \).  Тогда можем записать следующее определение. Функция \(  \large f(x) \) называется чётной на множестве \(  \large M \), если \(  \large ((\forall x_1 \in M) (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2))  \wedge (\forall x \in M)(f(-x)=f(x)) \).

Запишем отрицание формулы \(  \large P(x_1,x_2,x) \equiv ((\forall x_1 \in M) (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2))  \wedge (\forall x \in M)(f(-x)=f(x)) \). Имеем:

1) так как \(  \large \overline{A \wedge B} \simeq \overline{A} \vee \overline{B} \), то \(  \large \overline{P} \simeq \overline{(\forall x_1 \in M) (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2)} \vee \overline{(\forall x \in M)(f(-x)=f(x))}  \);

2) так как \(  \large \overline{(\forall x ) (P(x)) } \simeq (\exists x) (\overline{P(x)}) \), то \(  \large \overline{P} \simeq  (\exists x_1 \in M)\overline{ (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2)} \vee (\exists x \in M) \overline{(f(-x)=f(x))}  \);

3) так как \(  \large \overline{( \exists x) (Q(x)) } \simeq ( \forall x ) \overline{( Q (x))}  \), то \(  \large \overline{P} \simeq  (\exists x_1 \in M)(\forall x_2 \in M) \overline{  (x_1=-x_2)} \vee (\exists x \in M) \overline{(f(-x)=f(x))}  \);

4) так как \(  \large \overline{ P(x) = Q(x)} \simeq P(x) \not = Q(x) \), то \(  \large \overline{P} \simeq  (\exists x_1 \in M)(\forall x_2 \in M) (x_1 \not =-x_2) \vee (\exists x \in M) (f(-x) \not =f(x)) \).

Итак, функция \(  \large f(x) \) не является чётной на множестве \(  \large M \), если найдётся такое \(  \large x_1 \) из множества \(  \large M \) , что для любого \(  \large x_2 \) из множества \(  \large M \) \(  \large x_1 \not = x_2 \), или найдётся такое \(  \large x \) из множества \(  \large  M \), что \(  \large f(-x) \not = f(x) \).
 
Сказали спасибо: Илья23