Автор Тема: Хочу научиться решать дифференциальные уравнения - 2  (Прочитано 3582 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Не дадите подсказку?

Частное решение - многочлен.
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Я догадался. Частным решением будет функция \(  \large y_1=x^2  \). Делаю замену \(  \large y=x^2 z(x)  \). Тогда

\(  \large y'=2xz+x^2 z'  \),

\(  \large y''=2z+4xz' +x^2 z''  \).

Следовательно, исходное уравнение после приведения подобных членов примет вид

\(  \large x^4 z'' + 5x^3 z'=0  \).

Уравнение допускает понижение порядка. Дальше сокращаю на \(  \large x^3  \) и делаю замену \(  \large z'=u(x)  \). Тогда уравнение примет следующий вид:

\(  \large xu' + 5u=0  \).

Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общим решением является функция

\(  \large u=\frac{C_1 }{x^5}  \).

Значит,

\(  \large z'=\frac{C_1}{x^5}  \).

Опять переменные можно разделить. Общее решение исходного уравнения имеет вид

\(  \large y=C_2 x^2-\frac{C_1}{4x^4}  \).

Для проверки решу его как однородное уравнение Эйлера. Используя обычную замену \(  \large x=e^t  \), получаю следующее дифференциальное уравнение:

\(  \large y''(t)-4y(t)=0  \).

Общее решение получил после решения характеристического уравнения:

\(  \large y(t)= C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t}  \).

Значит,

\(  \large y(x)=C_1x^2- \frac{C_2}{x^2}  \).

Если я правильно понимаю, обозначив в первом случае (когда решал подстановкой, понижающей порядок) константы через \(  \large k_1  \) и \(  \large k_2  \) и положив во втором случае \(  \large C_1=k_2 , \ C_2=\frac{k_1}{4} \), получаю одно и то же общее решение.
 
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Всё правильно!
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Спасибо большое!
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Вот Вам ещё задачка. Найдите общее решение уравнения

\(  \large (1+x^2)y'' +xy'-y=-1  \),

если частным решением этого уравнения является функция

\(  \large y_1=x  \).

После, думаю, всё же стоит рассмотреть метод подбора частного решения для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, хотя метод вариации постоянных лучше, поскольку не требует знания таблицы, по которой подбирается частное решение, и подходит для уравнения с правой частью любого, а не специального вида.
 

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Тут всё очень похоже на решение однородного уравнения. Сначала сделал замену \(  \large y=xz  \). Тогда \(  \large y'=z+xz'  \), \(  \large y''=2z'+xz''  \). Исходное уравнение после упрощения приняло следующий вид:

\(  \large (x+x^3)z'' + (3x^2 + 2 )z'+1=0  \).

Так как оно не содержит в явном виде искомой функции, делаю обычную в этом случае подстановку - \(  \large z'=u, \ z''=u'  \). После этого получаю линейное неоднородное уравнение первого порядка:

\(  \Large u'+ \frac{3x^2 + 2 }{x^3 +x}=-\frac{1}{x^3 +x}  \).

Решал его методом Лагранжа. Если не возражаете, сам ход решения писать тут не буду. Получилось вот что:

\(  \large u=\frac{C_1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}- \frac{1}{x^2}  \).

Возвращаюсь к прежней переменной:

\(  \large z'=\frac{C_1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}- \frac{1}{x^2}  \).

Это уравнение с разделяющимися переменными. Там трудные интегралы были. Вот такая функция получилась:

\(  \large z=C_2  -C_1 \frac{\sqrt{x^2 +1 }}{x}+\frac{1}{x}  \).

Итак, общее решение:

\(  \large y=C_2 x -C_1 \sqrt{x^2+1}+1  \).
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
У Вас всё правильно. Теперь расскажу про метод подбора частного решения. Как я уже говорил выше, общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Ниже будем рассматривать лишь уравнения с постоянными коэффициентами. Найти общее решение линейного однородного уравнения легко. Для этого нужно составить и решить характеристическое уравнение. Чтобы найти частное решение линейного неоднородного уравнения, используется следующая таблица.
 
Сказали спасибо: Alexey, korr56

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Рассмотрим метод подбора на следующем простом примере. Пусть требуется найти общее решение дифференциального уравнения

\(  \large y''+8y'=8x  \).

Сначала решим соответствующее однородное уравнение:

\(  \large y''+8y'=0  \).

Для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни. Имеем:

\(  \large \mu^2 + 8 \mu=0 \Leftrightarrow \mu(\mu+8)=0 \Leftrightarrow \mu=0 \vee \mu=-8  \).

Значит, общим решением однородного уравнения является такая функция:

\(  \large y=C_1 + C_2 e^{-8x}  \).

Дальше смотрим в таблицу. Поскольку правая часть неоднородного уравнения есть многочлен первой степени, а нуль является однократным корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения надлежит искать в виде

\(  \large y=x^1 \cdot (ax+b)=ax^2+bx  \).

Находим производные:

\(  \large y'=2ax+b, \ y''=2a  \).

Подставляем в неоднородное уравнение:

\(  \large 2a+16ax+8b=8x+0  \).

Приравниваем коэффициенты в обеих частях равенства. Получим систему уравнений:

\(  \large \begin{cases} 16a=8 \\ 2a+8b=0 \end{cases}  \).

Откуда находим:

\(  \large a=\frac{1}{2}, \ b=-\frac{1}{8}  \).

Значит, частным решением неоднородного уравнения является следующая функция:

\(  \large y=\frac{x^2}{2}-\frac{x}{8}  \).

Тогда общим решением неоднородного уравнения является функция

\(  \large y=C_1+C_2 e^{-8x}  + \frac{x^2}{2}-\frac{x}{8} \).
 
Сказали спасибо: Alexey, korr56

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Спасибо Вам большое за такой подробный курс занятий!
А откуда табличка такая? Не посоветуете какую-нибудь дополнительную литературу по диффурам?  :)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Спасибо Вам большое за такой подробный курс занятий!

Пожалуйста! Заходите на форум с новыми вопросами и задачами! И с наступающим Днём знаний!

А откуда табличка такая? Не посоветуете какую-нибудь дополнительную литературу по диффурам?

Табличка из книжки Краснова, Киселёва и Макаренко "Обыкновенные дифференциальные уравнения". Её и порекомендую.
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Ещё раз спасибо. Буду штудировать книжку. Если будут вопросы, можно будет Вам задать?
И спасибо за поздравление!
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Если будут вопросы, можно будет Вам задать?

Да, конечно же, можно! Заходите на форум.
У меня есть предложение. Не хотите ли стать модератором раздела "Дифференциальные уравнения"? Про функционал форума расскажу в личке.
 

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Не хотите ли стать модератором раздела "Дифференциальные уравнения"?

Неожиданное предложение! Но я согласен!
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Хорошо! Напишу Вам в личку.
 
Сказали спасибо: Alexey