Автор Тема: Тождество Александрова для комплексных чисел  (Прочитано 1039 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
В другом математическом форуме вел тему с помощью коллег и получил очень интересное тождество:

\(  \large (x+yi)^n+(x-yi)^n=2 \sqrt{(x^2+y^2)^n} \cdot \cos \left[ \frac{\pi n}{2} \left( 1 - \frac{|x|}{x} \right)+n \cdot \textrm{arctg} \left( \frac{|y|}{x} \right) \right]  \).

Здесь  x, y, n - любые действительные числа. В учебниках дают только частный результат для  n=1

Самое интересно в этом тождестве тот факт, что получается не комплексное, а действительное число.
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
А как доказать это тождество?  :)
 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Расскажу, как вывел это тождество. При x>0 применил формулу Муавра. Это очень просто оказалось. Но формула при отрицательных  x  не работала. Муавра применил для x<0. Эта формула уже не работала при положительных иксах. Нужно было придумать "спайку" двух формул. Вот тут  пришлось повозиться... А доказательство у меня только графическое:  при любых действительных  трёх переменных x, y, n  линии полностью совпадают.
Да и расчеты подтверждают. Например, если в Вольфраме ввести разность между левой и правой частями тождества и менять произвольно числа для x, y, n , то в результате будет практически ноль:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2By*i)%5En%2B(x-y*i)%5En-2*(x%5E2%2By%5E2)%5E(n%2F2)*cos(pi*n%2F2*(1-%7Cx%7C%2Fx)%2Bn*arctan(%7Cy%7C%2Fx))+where+x%3D-2.13+and+y%3D1.27+and+n%3D-1%2F3

Повторю картинку (снабдил ее тегами и дал краткое описание, чтобы облегчился поиск в инете):
 
Сказали спасибо: Admin

Онлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 929
  • Поблагодарили: 674 раз(а)
    • Просмотр профиля
Самое интересно в этом тождестве тот факт, что получается не комплексное, а действительное число.
Это действительно интересно. Учитывая то, что степени сопряженных вновь сопряжены, а сумма сопряженных есть действительное число.  :)
Тем не менее желаю вам удачи в исследовании любопытных математических фактов...
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Спасибо!
Только сегодня вывел, что называется математическую строгость. Суть заключается в  максимально общем математическом представлении формулы Муавра. Вот что в итоге получилось (делаю скриншот с параллельного форума, поскольку тут LaTex отсутствует).

Формула Муавра в самом общем виде:

\(  \large (x+yi)^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n} \cdot \left[ \cos (n \varphi) + i \frac{|y|}{y} \sin (n \varphi) \right]  \),

где

\(  \large \varphi = \frac{\pi n}{2} \left(  1 - \frac{|x|}{x}\right) + n \cdot \textrm{arctg} \left( \frac{|y|}{x} \right)  \),

\(  \large x,y,n  \) - любые вещественные числа.

Проверим в Вольфраме все \(  \large 8  \) комбинаций знаков. Из этого представления формулы Муавра сразу вытекает

\(  \large (x+yi)^n + (x - yi)^n=2 \sqrt{(x^2+y^2)^n} \cdot \cos \left[  \frac{\pi n}{2} \left( 1 - \frac{|x|}{x} \right) + n \cdot \textrm{arctg} \left( \frac{|y|}{x} \right)\right]  \).

Один из примеров проверки формулы Муавра
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2By*i)%5En-(x%5E2%2By%5E2)%5E(n%2F2)*(cos(pi*n%2F2*(1-%7Cx%7C%2Fx)%2Bn*arctan(%7Cy%7C%2Fx))%2B%7Cy%7C%2Fy*i*sin(pi*n%2F2*(1-%7Cx%7C%2Fx)%2Bn*arctan(%7Cy%7C%2Fx)))+where+x%3D-2.3+and+y%3D-1.7+and+n%3D2.1
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
LaTex отсутствует

Как это отсутствует?  :o

http://maths24.net/index.php?topic=170.0
 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
О! Спасибо! Вот ведь старый стал - не заметил самого главного. Думал, что за знаком суммы стоИт только сумма  :)
 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Чуть опечатался в одном месте (формула для угла фи). Надо так:

\(  \large n \varphi =\frac{\pi n}{2} \left( 1 - \frac{|x|}{x} \right) + n \cdot \textrm{arctg} \left( \frac{|y|}{x} \right)  \).

 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
чтобы облегчился поиск в инете

Картинки, загруженные на Radikal (а также на многие другие фотохостинги) имеют неприятное свойство со временем исчезать (у них срок хранения имеется). Поэтому лучше загружать картинки непосредственно на форум. Тут они будут храниться всегда. Но картинки, насколько мне известно, индексируются поисковыми машинами намного хуже, чем текстовая информация. Поэтому я переписал текст с картинок и сообщил поисковикам о новой теме.
 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Уважаемый  Admin!
Очень Вам благодарен за большую деловую помощь в этой теме!!! С рисунками понял, буду пытаться делать, как Вы советуете.
Если я крупно не ошибся, то тема эта крайне важная. Она развивает хрестоматийные вещи комплексного анализа. Но до сих пор я не уверен: впервые получены формулы, или они известны и описаны в специальных статьях, учебниках, докладах? Сам пытался искать в инете, но везде одно и тоже: классическая формула Муавра, знакомые еще с института иллюстрации...
Я давно пропагандирую метод Монте-Карло. Пожалуй, это универсальный ключик к решению многих задач. Таких, как аппроксимация сложными функциями, решение систем нелинейных уравнений, линейное программирование... И вот теперь - поиск точных математических формул и даже физических законов.
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
На форуме  mathhelpplanet.com  совершенно не реагируют на мои посты. Хотя прочитали уже сотни специалистов. Не могу понять, почему. Здесь лучше: проявлен интерес. Поэтому скопирую последний пост, что дал сегодня в упомянутом форуме.

Так вот, пришел к истокам комплексных чисел. Тригонометрическая форма имеет вид

\( x+y\,i=\sqrt{x^2+y^2}\big [\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi) \big ] \).

Начало очень хорошее. Но дальше начинаются вариации из-за величины угла фи. Даются четыре представления в зависимости от четверти  комплексной плоскости, где находится комплексное число. Обычно это головная боль для студентов. Всегда лучше иметь одну формулу, в которой автоматически учитывается вышесказанная многовариантность. И, вот, вся логика развития данной темы "Просьба" привела меня к благодатному для студентов (надеюсь - и для всех математиков) результату.

Итак, тригонометрическое представление комплексного числа:

\( x+y\,i=\sqrt{x^2+y^2}\bigg [\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\frac{|x|}{x} +{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\frac{|x|}{x} +{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg] \).

где \( x, \, y \, \)- любые действительные числа

Чтобы убедиться в правильности, можно в Вольфраме поварьировать числами и знаками (тут разница между левой и правой частями тождества практически нулевая):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By*i-sqrt(x%5E2%2By%5E2)*(cos(pi%2F2-pi%2F2*%7Cx%7C%2Fx%2Barctan(%7Cy%7C%2Fx))%2Bi*%7Cy%7C%2Fy*sin(pi%2F2-pi%2F2*%7Cx%7C%2Fx%2Barctan(%7Cy%7C%2Fx)))++where+x%3D2.37+and+y%3D1.7

Формула хоть и длинноватая, но зато автоматически все учитывает. Она же дает развитие формулы Муавра, которую я привел в предыдущих постах, она же элементарно приводит к красивому тождеству для сопряженных чисел.
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Только что оформил коллаж, чтобы в компактном виде сохранить результаты исследований (смог только через radikal):

Если есть вероятность пропажи изображения, то просьба к Admin это изображение вставить сюда через внутренний ресурс форума.

Изображение прикрепил.
Admin
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
На всякий случай - ссылка на последний коллаж:
https://fotki.yandex.ru/next/users/renuar911/album/11083/view/748203
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Результаты исследований поместил в блоге

http://renuar911.blog.ru/221620243.html
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Сделал для себя качественное фото на холсте размером метр на метр. Если у кого потянет 70 мегов, можете посмотреть на моем Яндекс-диске

https://disk.yandex.ru/client/disk%7Cslider/disk/coompp.bmp?idContextSlider=/recent
 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Тождество Александрова для комплексных чисел
« Ответ #15 : Август 15, 2016, 06:45:38 pm »
Моя аспирантка записала лекцию, которую я сделал сегодня утром

https://www.youtube.com/watch?v=Mly3qRas49I