Автор Тема: Дифференциальные уравнения  (Прочитано 760 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Xperia

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Дифференциальные уравнения
« : Октябрь 09, 2015, 06:21:36 am »
1. Проверить, являются ли указанные функции, где \(  \large C,C_1,C_2  \) - произвольные постоянные, решением данных дифференциальных уравнений:

а) \(  \large y=C e^{\textrm{tg} x}, \ y' \cos^3 x = y  \);

б) \(  \large y=C_1 \ln x + \frac{1}{x} +C_2, \ x^3 y'' + x^2 y' =1  \).

2. Найти общие решения (общие интегралы) дифференциальных уравнений первого порядка:

а) \(  \large e^{x+3y} dy=xdx   \);

б) \(  \large xdy -ydx= \sqrt{x^2+y^2}dx  \);

в) \(  \large x^2y' + xy+1=0  \).
 
Прошу вашей помощи.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Дифференциальные уравнения
« Ответ #1 : Октябрь 09, 2015, 08:57:19 am »
1.а. Так как \(  \large y'=Ce^{\textrm{tg} \ x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \), то \(  \large y \cos^3 y=Ce^{\textrm{tg} \ x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \cos^3 y=Ce^{\textrm{tg} \ x} \cos y \not = Ce^{\textrm{tg} \ x}   \). Следовательно, функция \(  \large y=Ce^{\textrm{tg} \ x} \) не является решением уравнения \(  \large y' \cos^3 x=y \).

1.б. Функция \(  \large y=C_1 \ln x+\frac{1}{x}+C_2 \) есть решение уравнения \(  \large x^3y''+x^2y'=1 \), так как \(  \large y'=\frac{C_1}{x}-\frac{1}{x^2}, \ y''=-\frac{C_1}{x^2}+\frac{2}{x^3} \) и \(  \large x^3y''+x^2y'=-C_1x+2+C_1x-1=1 \).

2.а. Уравнение с разделяющимися переменными:

\(  \large e^{x+3y}dy=xdx \)

\(  \large e^x \cdot e^{3y} dy=xdx  \)

\(  \large e^{3y}dy=xe^{-x}dx \)

\(  \large \frac{1}{3} \int e^{3y}d(3y)=\int xe^{-x}dx \)

Интеграл \(  \large \int xe^{-x}dx \) берём по частям. Пусть \(  \large u=x, \ dv=e^{-x}dx \). Тогда \(  \large du=dx, \ v=-e^{-x} \). Следовательно, \(  \large \int xe^{-x}dx=uv-\int v du=-xe^{-x}-e^{-x} \).

\(  \large \frac{1}{3} \int e^{3y}d(3y)=-xe^{-x}-e^{-x}+C^{*} \)

\(  \large e^{3y}=-3xe^{-x}-3e^{-x}+C \)

Получили общий интеграл дифференциального уравнения (здесь \(  \large C=3C^{*} \)).

2.в. Линейное неоднородное уравнение: \(  \large y'+\frac{y}{x}=-\frac{1}{x^2} \).

Решим сначала уравнение \(  \large y'+\frac{y}{x}=0 \):

\(  \large \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x} \)

\(  \large \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} \)

\(  \large \ln|y|=C_1-\ln|x| \)

\(  \large \ln|y|=\ln e^{C_1}-\ln|x| \)

\(  \large y=\frac{C}{x}, \ C= \pm e^{C_1} \)

Общее решение исходного уравнения будем искать в виде \(  \large  y=\frac{C(x)}{x} \). Тогда \(  \large y'=\frac{C'(x)x-C(x)}{x^2} \) и уравнение примет вид \(  \large \frac{C'(x)x-C(x)}{x^2}+\frac{C(x)}{x^2}=-\frac{1}{x^2} \). Интегрируем:

\(  \large C'(x)=-\frac{1}{x}  \)

\(  \large \frac{dC(x)}{dx}=-\frac{1}{x}  \)

\(  \large dC(x)=-\frac{dx}{x}  \)

\(  \large \int dC(x)=- \int \frac{dx}{x}  \)

\(  \large C(x)=C-\ln|x| \)

Итак, общее решение уравнения \(  \large  y=\frac{C-\ln|x|}{x} \).

2.б. Однородное уравнение:

\(  \large xdy-ydx=\sqrt{x^2+y^2}dx \)

\(  \large xdy=ydx+\sqrt{x^2+y^2}dx \)

\(  \large \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+ \sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}} \)

Положим \(  \large \frac{y}{x}=t(x) \). Тогда \(  \large y=xt(x) \) и \(  \large y'=t(x)+xt'(x) \). Следовательно, уравнение примет вид:

\(  \large t+xt'=t+\sqrt{1+t^2} \)

\(  \large xt'=\sqrt{1+t^2} \)

\(  \large x\frac{dt}{dx}=\sqrt{1+t^2} \)

\(  \large \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{dx}{x} \)

Для вычисления интеграла \(  \large \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \) используем подстановку Эйлера. Пусть \(  \large \sqrt{1+t^2}=y+t \). Тогда \(  \large 1+t^2=y^2+t^2+2yt  \). Значит, \(  \large t=\frac{1-y^2}{2y} \), \(  \large \sqrt{1+t^2}=\frac{y^2+1}{2y} \) и \(  \large dt=\frac{-y^2-1}{2y^2}dy \). Следовательно, интеграл примет вид

\(  \Large -\int \frac{(y^2+1) \cdot 2y}{2y^2 (y^2+1)}dy=-\int \frac{dy}{y}=C^{*} - \ln|y|=C-\ln|\sqrt{1+t^2}-t|  \).

Замечание. Интеграл можно не вычислять, так как он часто считается табличным.

Итак, интегрируя дифференциальное уравнение \(  \large \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{dx}{x} \), получим:

\(  \Large \ln e^{C^{*}}-\ln|\sqrt{1+t^2}-t|=\ln |x| \)

\(  \Large \frac{C}{\sqrt{1+t^2}-t}=x, \ C=\pm e^{C^{*}} \)

\(  \Large x(\sqrt{x^2+y^2}-y)=Cx \) - общий интеграл.
 
Сказали спасибо: Alexey