Автор Тема: Хочу научиться решать дифференциальные уравнения - 1  (Прочитано 5039 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Здравствуйте! Я студент провинциального технического вуза. Интересуюсь математикой. Заканчиваю первый курс. Знаю, что в ближайшее время у нас будут диффуры. Хочу за лето научиться решать их. Реально ли это? Какие знания нужны? Может ли мне кто-то помочь с этим?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Здравствуйте!

Приветствую!

Интересуюсь математикой.

Похвально.

Знаю, что в ближайшее время у нас будут диффуры.

Обыкновенные дифференциальные уравнения?

Хочу за лето научиться решать их. Реально ли это?

Вполне реально.

Какие знания нужны?

Знание основ школьного курса математики (умение обращаться с тригонометрическими функциями, логарифмами и другими элементарными функциями), умение дифференцировать и интегрировать, некоторые знания (простейшие) из аналитической геометрии и линейной алгебры. Плюс знание некоторых специальных приёмов. Диффуры (обыкновенные дифференциальные уравнения) хороши тем, что можно научиться решать их, не зная сложных вопросов теории дифференциальных уравнений (всякие теоремы существования и единственности решения задачи Коши и прочее).

Может ли мне кто-то помочь с этим?

Я могу помочь (при условии, что будете пользоваться редактором формул). Могу даже придумать задачи. Но не гарантирую, что буду заниматься этим каждый день.

P.S. Решать и обсуждать задачи будем в этой теме. Если будет нужно, я создам новую. Темы закреплю - может, пригодится кому-то ещё.


 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Обыкновенные дифференциальные уравнения?

Да, они, вроде бы. А какие ещё есть?

Знание основ школьного курса математики (умение обращаться с тригонометрическими функциями, логарифмами и другими элементарными функциями), умение дифференцировать и интегрировать, некоторые знания (простейшие) из аналитической геометрии и линейной алгебры.

Эти знания у меня есть. Школьный курс помню. Матан, линейка и аналитическая геометрия у нас были.

Я могу помочь (при условии, что будете пользоваться редактором формул).

Большое спасибо!
А где про этот редактор можно почитать? Справка какая-нибудь есть?

Могу даже придумать задачи.

Это здорово!
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
А какие ещё есть?

Пусть \(  \large y=f(x)  \) - некоторая функция одного вещественного аргумента. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее аргумент \(  \large x  \), функцию \(  \large y  \) и её производные \(  \large y', \ y'' , \ \ldots  \ , y^{(n)}  \). Стоит отметить, что аргумент и сама функция могут отсутствовать в уравнении, но хотя бы одна производная быть должна. Иначе какие у нас основания называть это уравнение дифференциальным? При этом наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Так, обыкновенным является следующее дифференциальное уравнение:

\(  \large y''+y'=xy  \).

Его порядок, очевидно, равен двум.

Также обыкновенным является уравнение

\(  \large (y')^2+y=2  \).

Порядок этого уравнения равен одному.

Есть ещё уравнения в частных производных (там фигурируют функции двух и более независимых переменных). Научить Вас решать такие диффуры я не возьмусь. Поэтому далее будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

А где про этот редактор можно почитать?

Почитайте тут.

Alexey, если возникают какие-нибудь вопросы, задавайте.

Кроме того, попрошу других участников форума не выкладывать в этой теме решения задач. Можно давать лишь подсказки.
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Порядок этого уравнения равен одному.

Я сначала подумал, что тут порядок равен двум. Но потом понял свою ошибку: квадрат ввёл меня в заблуждение, но производная там только первого порядка.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
квадрат ввёл меня в заблуждение

Так было задумано.  :)

Начнём с самого простого типа уравнений - уравнений с разделёнными переменными (иногда их не рассматривают и начинают с уравнений с разделяющимися, но не обязательно разделёнными переменными). Уравнения с разделёнными переменными имеют вид \(  \large f(x)dx=g(y)dy  \). Рассмотрим уравнение

\(  \large \frac{x}{2} dx=\frac{y}{3}dy \).

Посмотрите внимательно на обе части этого уравнения. Что они Вам напоминают? Какие мысли, идеи вызывают?
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Что они Вам напоминают? Какие мысли, идеи вызывают?

Они напоминают мне подынтегральные выражения неопределённых интегралов. Идея - проинтегрировать обе части.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Идея - проинтегрировать обе части.

Идея правильная.
 

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Навешиваю интегралы:

\(  \large \int \frac{x}{2}dx = \int \frac{y}{3}dy  \).

Интегрирую:

\(  \large \frac{x^2}{2 \cdot 2} +C_1=\frac{y^2}{2 \cdot 3}+C_2  \).

Два интеграла, значит, две константы? Я их по-разному обозначил.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Два интеграла, значит, две константы?

В общем-то, да. Но их можно (и нужно) заменить на одну. Умножьте обе части на наименьшее общее кратное чисел \(  \large 4  \) и \(  \large 6  \), перенесите \(  \large x  \) и \(  \large y  \) влево, а константы - вправо. И обозначьте их символом \(  \large C  \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Но их можно (и нужно) заменить на одну.

А почему нужно?

Делаю всё по инструкции. Умножаю обе части равенства на \(  \large 12  \):

\(  \large 3x^2+12C_1=2y^2+12C_2  \).

Переношу неизвестные в левую часть, постоянные - в правую:

\(  \large 3x^2-2y^2=12C_2-12C_1  \).

Обозначаю \(  \large 12C_2-12C_1  \) через \(  \large C  \):

\(  \large 3x^2-2y^2=C  \).

У меня тут возник вопрос. Что мы получили?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
А почему нужно?

Для простоты. Зачем две постоянные, если их можно заменить на одну? Ведь \(  \large C_1  \) и \(  \large C_2  \) - произвольные вещественные числа. Какие угодно. У нас есть некоторое выражение с этими постоянными. Мы обозначаем его некоторой буквой и снова получаем произвольное вещественное число.
Кроме того, можно отметить, что количество постоянных, получающихся про интегрирования дифференциальных уравнений равно порядку уравнения.

Делаю всё по инструкции.

Сделали всё правильно.

Что мы получили?

Вопрос хороший и своевременный.  :)
Мы получили общий интеграл дифференциального уравнения. Вообще говоря, дифференциальное уравнение имеет бесконечное (и даже не счётное, если знаете, что это такое) множество решений. Все общие решения дифференциального уравнения первого порядка имеют вид \(  \large F(x,y,C)=0  \). Если \(  \large F  \) - неявная функция, то говорят об общем интеграле, если явная - об общем решении. Подставляя вместо \(  \large C  \) конкретные вещественные числа, будем получать частные интегралы или частные решения обыкновенного дифференциального уравнения. Общее решение (или общий интеграл) обращают дифференциальное уравнение в тождество при подстановке этой функции в уравнение. Кстати, Вы можете самостоятельно проверить правильность решения дифференциального уравнения. Надеюсь, знаете, как дифференцировать неявно заданные функции?
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Надеюсь, знаете, как дифференцировать неявно заданные функции?

Здесь ведь нужно дифференциал находить, а не производную?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Да, дифференциал. Но можно и производную, если вспомнить, что \(  \large y'=\frac{dy}{dx}  \). Но в первом случае ничего не нужно подставлять в уравнение (правильность или неправильность решения будет очевидна), а во втором - нужно (найденную производную - в преобразованное уравнение).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Начну тогда с дифференциала.  :)
Получится

\(  \large 6xdx-4ydy=0  \),

\(  \large \frac{x}{2}dx=\frac{y}{3}dy  \).

Получили это самое уравнение.

А если производную находить, то

\(  \large 6x-4y \cdot y'=0  \),

\(  \large y'=\frac{3x}{2y}  \).

Преобразуем уравнение

\(  \large \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{y}=\frac{dy}{dx}  \).

Получилось то же самое. Значит, можно не подставлять?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Значит, можно не подставлять?

Вы правы, можно не подставлять.

Выше мы нашли общее решение (точнее, общий интеграл) дифференциального уравнения с разделёнными переменными. Задача о нахождении частного решения (или частного интеграла), удовлетворяющего некоторым условиям (они называются начальными) называется задачей Коши. Задача Коши не всегда однозначно разрешима, но мы этот вопрос (о единственности решения задачи Коши) рассматривать не будем, поскольку наша цель - просто научиться решать обыкновенные дифференциальные уравнения. Мы условились не лезть в теоретические джунгли.

Примером задачи Коши для уже решённого нами диффура может служить следующая. Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию: \(  \large y(0)=0  \). Это надлежит читать так: найти такое частное решение, что \(  \large y=0  \) при \(  \large x=0  \). Решить эту задачу очень просто. Для этого нужно подставить нуль вместо \(  \large y  \) и \(  \large x  \), найти значение константы и записать частное решение (в общем решении \(  \large C  \) заменить на найденное значение).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Подставляю:

\(  \large 3 \cdot 0^2 -2 \cdot 0^2 =C  \),

\(  \large C=0  \).

Тогда \(  \large 3x^2=2y^2  \) - частное решение. Нет. Частный интеграл?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Частный интеграл?

Да, частный интеграл, поскольку функция задана неявно.

Следующий тип обыкновенных дифференциальных уравнений - уравнения с разделяющимися переменными. Они характеризуются тем, что их (не используя никакие подстановки) можно привести к виду

\(  \large f(x)dx= \varphi (y) dy  \).

Иначе говоря, такое уравнение можно сделать уравнением с разделёнными переменными. Отсюда и название - уравнения с разделяющимися переменными (с переменными, которые можно разделить, сделать разделёнными).

Решите, например, такое уравнение: \(  \large y'=x+1  \). Подсказка: не забывайте, что \(  \large y'=\frac{dy}{dx}  \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Преобразуем:

\(  \large \frac{dy}{dx}=x+1  \),

\(  \large dy=(x+1)dx  \).

Интегрируем:

\(  \large \int dy= \int (x+1)dx  \),

\(  \large y=\frac{x^2}{2}+x+C  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Всё правильно. Получили общее решение дифференциального уравнения.

Рассмотрим ещё один класс обыкновенных дифференциальных уравнений, которые легко приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Это уравнения вида

\(  \large y'=ay+bx+c  \),

где

\(  \large a,b,c= \textrm{const}  \).

Положим

\(  \large ay+bx+c=t(x)  \).

Тогда

\(  \large ay'+b=t'  \).

Следовательно,

\(  \large y'=\frac{t'-b}{a}  \).

Таким образом, легко получим уравнение с разделяющимися переменными.

Решите уравнение

\(  \large y'=y+x+1  \).


 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Решаю. Сначала делаю замену \(  \large y+x+1=t  \). Получаю: \(  \large y'=t'-1  \). Уравнение примет такой вид:

\(  \large t'-1=t  \).

Получил уравнение с разделяющимися переменными. Переношу \(  \large -1  \) вправо с противоположным знаком, разделяю переменные и интегрирую:

\(  \large t'=t+1  \),

\(  \large \frac{dt}{dx}=t+1  \),

\(  \large \frac{dt}{t+1} =dx \),

\(  \large \int \frac{dt}{t+1} = \int dx \),

\(  \large \int \frac{d(t+1)}{t+1} = \int dx \),

\(  \large \ln |t+1|=x+C  \).

Теперь нужно вернуться к прежней переменной:

\(  \large \ln |y+x+1|=x+C  \).

Похоже, что получился общий интеграл уравнения.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
получился общий интеграл уравнения

Да, верно. Но можно получить и общее решение, если вспомнить, что \(  \large x= \ln e^x  \) и другие свойства логарифмов. На мой взгляд, общее решение лучше, чем общий интеграл, поскольку явная функция лучше неявной.
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Вот так?

\(  \large \ln |y+x+2| = \ln e^x + \ln e^C  \),

\(  \large \ln |y+x+2| = \ln ( e^x \cdot e^C ) \),

\(  \large y+x+2=e^C \cdot e^x  \),

\(  \large y=e^C \cdot e^x-x-2  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Вот так?

Не совсем. Во-первых, \(  \large \ln |a|=\ln b \Leftrightarrow a = \pm b  \), а во-вторых, можно в изначально полученном общем интеграле обозначить константу буквой \(  \large k  \), а затем положить \(  \large \pm e^k=C   \) (поскольку константа произвольная). Ошибок в Вашем решении нет (если не считать ошибки со знаками), но предложенная мной запись более лаконична.
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Понял, с модулем я напутал. Тогда вот так:

\(  \large y+x+2= \pm e^k \cdot e^x  \),

\(  \large y=C \cdot e^x -x-2  \).

Общее решение получилось. Здесь \(  \large C = \pm e^k  \).

дифференциальное уравнение имеет бесконечное (и даже не счётное, если знаете, что это такое) множество решений

Нет, не знаю. Не счётное - это то, что посчитать нельзя?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Общее решение получилось.

Всё правильно.

Не счётное - это то, что посчитать нельзя?

Не совсем так. В теории множеств есть такое понятие, как мощность или кардинальное число множества. Для конечных множеств мощность равна количеству элементов. Если между некоторым множеством и множеством натуральных чисел можно установить биекцию (взаимно однозначное отображение), то такое множество называется счётным (имеет счётную мощность). Между множествами натуральных чисел и вещественных чисел биекцию установить нельзя. Множества, для которых можно указать биекцию, отображающую их в множество вещественных чисел, называется континуальными (имеют мощность континуума). Множество решений дифференциального уравнения имеет континуальную мощность.

Следующим по уровню сложности (после уравнения с разделяющимися переменными) является однородное уравнение. Более точно - уравнение с однородными функциями. Оно имеет вид или может быть приведено к виду

\(  \large y' = \varphi \left( \frac{y}{x} \right)   \).

Такое уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой \(  \large \frac{y}{x}=t(x)  \).

Вам предлагается решить уравнение

\(  \large xy-y^2=x^2 y'  \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Если я правильно понял, чтобы найти производную после замены \(  \large \frac{y}{x}=t(x)  \), нужно сначала умножить обе части этого равенства на \(  \large x  \). Вот что получил:

\(  \large y=xt  \),

\(  \large y=x't+xt'=t+xt'  \).

Уравнение тоже преобразую:

\(  \large \frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^2}=y'  \).

Делаю подстановку:

\(  \large t-t^2=t+xt'  \),

\(  \large -t^2=xt'  \).

Получил уравнение с разделяющимися переменными. Решаю обычным способом, подстановки больше не нужны:

\(  \large -t^2=x \frac{dt}{dx}  \),

\(  \large -t^2dx=x dt  \),

\(  \large \frac{dx}{x}= - \frac{dt}{t^2}  \),

\(  \large \int \frac{dx}{x}= - \int \frac{dt}{t^2}  \),

\(  \large \ln |x|=- \frac{t^{-1}}{-1}+k   \),

\(  \large \ln |x|=\frac{1}{t}+k  \).

Теперь заменяю \(  \large t  \) на \(  \large \frac{y}{x}  \) и ещё преобразую выражение:

\(  \large \ln |x| =\frac{x}{y}+k   \),

\(  \large \ln |x | = \ln e^{\frac{x}{y}} + \ln e^k  \),

\(  \large \ln |x|= \ln ( e^{\frac{x}{y}} \cdot e^k)  \),

\(  \large x=\pm e^{k} \cdot  e^{\frac{x}{y}}  \),

\(  \large x= C \cdot e^{\frac{x}{y}}  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
По-моему, всё правильно.

Есть два типа дифференциальных уравнений, которые приводятся к однородным. Можете почитать об этом здесь.

Обычно после однородных уравнений рассматриваются линейные (неоднородные) уравнения. Они имеют вид

\(  \large y'+p(x) y=g(x)  \).

Их можно решать двумя методами - методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной) и методом Бернулли. Начнём, пожалуй с метода вариации произвольной постоянной, принадлежащего Лагранжу. Сначала решают соответствующее однородное уравнение - уравнение, где правая часть является тождественным нулём (не путать с уравнением, включающим однородные функции!). Рассмотрим этот метод на примере уравнения \(  \large y'+xy=x  \). Начните решать однородное уравнение.

Кстати, при решении диффуров очень важно уметь определять тип уравнения. Нередки случаи, когда уравнение относится сразу к двум типам. Например, к какому ещё типу относится уравнение \(  \large y'+xy=x  \)?

 
Сказали спасибо: Alexey, korr56

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Начните решать однородное уравнение.

Это уравнение с разделяющимися переменными: \(  \large y'+xy=0  \). Решаю. Представлю производную как частное дифференциалов и перенесу \(  \large xy  \) в правую часть с противоположным знаком:

\(  \large \frac{dy}{dx}=-xy  \).

Умножу обе части уравнения на \(  \large dx  \):

\(  \large dy=-xydx  \).

Разделю обе части на \(  \large y  \):

\(  \large \frac{dy}{y}=-xdx  \).

Интегрирую:

\(  \large \int \frac{dy}{y}= - \int xdx  \),

\(  \large \ln |y|=k -\frac{x^2}{2}   \),

\(  \large y= \pm e^k \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}  \),

\(  \large y=C \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}  \).

к какому ещё типу относится уравнение

Его можно представить в виде \(  \large y'=x(1-y)  \). Это уравнение с разделяющимися переменными. Получается, что это линейное уравнение и уравнение с разделяющимися переменными одновременно?
 
Сказали спасибо: korr56

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
это линейное уравнение и уравнение с разделяющимися переменными одновременно?

Да, именно так. Конечно же, его было бы проще решить именно как уравнение с разделяющимися переменными. Но мы будем решать его как линейное (неоднородное) уравнение. Когда найдено общее решение однородного уравнения, можно искать общее решение уравнения неоднородного. Его надлежит искать в виде \(  \Large y=C(x) \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}  \). Найдите \(  \large y'  \), затем подставьте \(  \large y  \) и \(  \large y'  \) в уравнение \(  \large y'+xy=x  \). Ваша цель - найти неизвестную функцию \(  \large C(x)  \).
 
 
Сказали спасибо: Alexey, korr56