1) Зная координаты точек \( \large A, \ B, \ C \), найдём координаты векторов в базисе \( \large (\overline{i}, \ \overline{j}, \ \overline{k}) \), где \( \large \overline{i}=(1,0,0) , \ \overline{j}=(0,1,0), \ \overline{k}=(0,0,1) \). Имеем:
а) \( \large \overline{AB}=(-1-3,6-1,1-4)=(-4,5,-3) \);
б) \( \large \overline{AC}=(-1-3,1-1,6-4)=(-4,0,2) \).
2) Используя скалярное произведение, вычислим косинус угла между \( \large \overline{AB} \) и \( \large \overline{AC} \):
\( \Large \cos \varphi = \frac{(-4) \cdot (-4)+5 \cdot 0 + (-3) \cdot 2}{\sqrt{16+25+9} \cdot \sqrt{16+0+4}}=\frac{1}{\sqrt{10}} \).
Тогда \( \large \varphi=\textrm{arccos} \ \frac{1}{\sqrt{10}} \).
3) Уравнение плоскости, которая проходит через точку \( \large (x_0,y_0,z_0) \) перпендикулярно вектору \( \large (A,B,C) \), имеет вид \( \large A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \). Тогда искомое уравнение \( \large -4(x+1)+5(y-1)-3(z-6)=0 \) или \( \large 4x-5y+3z-9=0 \).
