Автор Тема: Треугольник на плоскости. Разные задачи  (Прочитано 1440 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн LiliLeron

  • Пользователь
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
Даны вершины треугольника: А (-3,-2), В (14,4), С (6,8). Найти:
1) длину стороны АВ,
2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты,
3) внутренний угол  А в радианах с точностью до 0,01,
4) уравнение высоты CD и ее длину,
5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр,
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4954
  • Поблагодарили: 1572 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Треугольник на плоскости. Разные задачи
« Ответ #1 : Октябрь 09, 2015, 04:30:21 pm »
Рисунок к задаче рекомендуется сделать самостоятельно.

1) Чтобы найти длину стороны \(  \large AB  \), используем формулу для расстояния между двумя точками. Имеем:

\(  \large |AB|= \sqrt{(x_B-x_A)^2+ (y_B-y_A)^2}=\sqrt{(14+3)^2+(4+2)^2}=5 \sqrt{13}  \).

2) Запишем уравнения прямых \(  \large AB  \) и \(  \large AC  \), зная две точки каждой из них:

а) \(  \large \frac{x-x_A}{x_B - x_A}= \frac{y-y_A}{y_B-y_A} \Leftrightarrow \frac{x+3}{14+3}=\frac{y+2}{4+2} \Leftrightarrow 6x-17y-16=0  \);

б) \(  \large \frac{x-x_A}{x_C - x_A}= \frac{y-y_A}{y_C-y_A} \Leftrightarrow  \frac{x+3}{6+3} = \frac{y+2}{8+2} \Leftrightarrow10x-9y+12=0 \).

Получили общие уравнения прямых. Чтобы найти угловые коэффициенты этих прямых, представим их уравнения в виде \(  \large y=kx+b  \), где \(  \large k  \) - искомый коэффициент. Получим:

а) \(  \large 6x-17y-16=0 \Leftrightarrow y=\frac{6}{17}x - \frac{16}{17}  \);

б) \(  \large 10x-9y+12=0 \Leftrightarrow y=\frac{10}{9}x + \frac{4}{3}  \).

Значит, угловой коэффициент прямой \(  \large AB  \) равен \(  \large \frac{6}{17}  \), а угловой коэффициент прямой \(  \large AC  \) равен \(  \large \frac{10}{9}  \).

3) Переходим к нахождению внутреннего угла \(  \large A  \) треугольника \(  \large ABC  \). Тангенс угла между прямыми \(  \large A_1x+B_1y+C_1=0  \) и \(  \large A_2x+B_2y +C_2=0  \) находится по формуле

\(  \large \textrm{tg} \ \varphi= \left| \frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2 +B_1B_2} \right|  \).

Нужно учитывать, что искомый угол острый.

4) Найдём высоту \(  \large CD  \). Поступим следующим образом. Эта высота опущена на сторону \(  \large AB  \), уравнение которой имеет вид

\(  \large y=\frac{6}{17}x - \frac{16}{17}  \).

Значит, как было сказано выше, \(  \large k_{AB}=\frac{6}{17}  \). Известно, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно минус единице. Следовательно, \(  \large k_{CD}=- \frac{17}{6}  \). Тогда уравнение искомой высоты надлежит искать в виде

\(  \large y=-\frac{17}{6} x + b  \).

Подставим в уравнение высоты координаты точки \(  \large C  \). Имеем:

\(  \large 8=-\frac{17}{6} \cdot 6 +b  \).

Отсюда \(  \large b=25  \). Значит, высота, опущенная на сторону \(  \large AB  \), определяется уравнением

\(  \large y=- \frac{17}{6} x + 25  \).

Чтобы найти длину этой высоты, нужно найти точку её пересечения со стороной \(  \large AB  \). Координаты этой точки находятся из следующей системы уравнений:

\(  \large  \begin{cases} y = \frac{6}{17} x - \frac{16}{17} \\ y =\ - \frac{17}{6} x + 25 \end{cases}  \).

Далее используем формулу для расстояния между точками.

5) Следующий пункт - уравнение окружности, построенной на найденной только что высоте как на диаметре. Алгоритм решения этой задачи таков. Зная координаты концов высоты, находим её середину. Это центр искомой окружности. Пусть \(  \large (x_1,y_1)  \) - координаты центра окружности. Зная, что окружность проходит через точки \(  \large C  \) и \(  \large D  \), подставляем координаты любой из этих точек в уравнение \(  \large (x-x_1)^2+(y-y_1)=R^2  \) и находим радиус. Зная координаты центра окружности и её радиус, записываем уравнение этой окружности.

6) Чтобы составить систему неравенств, которые определяют треугольник \(  \large ABC  \), хорошо иметь перед глазами чертёж этого треугольника. Поскольку сторона \(  \large BC  \) задаётся уравнением \(  \large y=-\frac{x}{2} + 11  \), система неравенств такая:

\(  \large \begin{cases}  y \le x+1 \\ y \le -\frac{x}{2} + 11 \\ y \ge \frac{6}{17} x - \frac{16}{17} \end{cases}  \).
 

Оффлайн Уйсембаева Молдир

  • Пользователь
  • Сообщений: 108
    • Просмотр профиля
Re: Треугольник на плоскости. Разные задачи
« Ответ #2 : Ноябрь 04, 2015, 12:34:22 pm »
Даны вершины треугольника \(  \large ABC \): \(  \large A \ (4,-4), \ B \ (6,2), \ C \ (-1,8) \). Найти:
а) уравнение стороны \(  \large AB \);
б) уравнение высоты \(  \large CH \);
в) уравнение медианы \(  \large AM \);
г) точку \(  \large N \) пересечения медианы \(  \large AM \) и высоты \(  \large CH \);
д) уравнение прямой, проходящей через вершину \(  \large C \) параллельно стороне \(  \large AB \);
е) расстояние от точки \(  \large C \) до прямой \(  \large AB \).
Помогите.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4954
  • Поблагодарили: 1572 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Треугольник на плоскости. Разные задачи
« Ответ #3 : Ноябрь 04, 2015, 03:11:04 pm »
а) Запишем уравнение прямой, проходящей через точки \(  \large A \) и \(  \large B \):

\(  \Large \frac{x - x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A} \ \Leftrightarrow \ \frac{x-4}{6-4}=\frac{y+4}{2+4} \ \Leftrightarrow \ 3x-y-16=0 \).

б) Так как прямые \(  \large AB \) и \(  \large CH \) перпендикулярны, их угловые коэффициенты связаны соотношением \(  \large k_{AB} \cdot k_{CH}=1 \). Как было показано выше, \(  \large k_{AB}=3 \). Значит, \(  \large k_{CH}=-\frac{1}{3} \). Итак, уравнение высоты \(  \large CH \) будем искать в виде \(  \large y=-\frac{1}{3}x + b \). Подставим вместо \(  \large x \) и \(  \large y \) координаты точки \(  \large C \): \(  \large b=\frac{23}{3} \). Значит, \(  \large x+3y-23=0 \) - искомое уравнение.

в) Найдём середину \(  \large M \) отрезка \(  \large BC \):

\(  \large x_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{6-1}{2}=\frac{5}{2}, \ y_M=\frac{2+8}{2}=5  \).

Запишем уравнение прямой, которая проходит через точки \(  \large A \) и \(  \large M \):

\(  \large \frac{x-x_A}{x_M-x_A} = \frac{y-y_A}{y_M - y_A} \ \Leftrightarrow \ \frac{x-4}{\frac{5}{2}-4}=\frac{y+4}{5+4} \ \Leftrightarrow \ 18x+3y-60=0 \).

г) Чтобы найти точку пересечения медианы \(  \large AM \) и высоты \(  \large CH \), решим систему, составленную из уравнений этих прямых:

\(  \large \begin{cases} 18x+3y-60=0 \\ x+3y-23=0 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} 18x+3y-60-x-3y+23=0 \\ y=\frac{23-x}{3} \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x=\frac{37}{17} \\ y=\frac{23-\frac{37}{17}}{3} \end{cases}  \).

д) Уравнение прямой, проходящей через точку \(  \large C \) параллельно прямой \(  \large AB \), будем искать в виде \(  \large y=3x+b \), так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Подставим в это уравнение координаты точки \(  \large C \). Имеем: \(  \large 8=-3+b \ \Leftrightarrow \ b=11 \). Итак, \(  \large y=3x+11 \) - искомое уравнение.

е) Расстояние \(  \large \rho \) от точки с координатами \(  \large (x_0,y_0) \) до прямой \(  \large Ax+By+C=0 \) вычисляется по формуле \(  \large \rho=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \). Для данных точки и прямой получим: \(  \large \rho=\frac{|3 \cdot (-1) + (-1) \cdot 8 -16|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{27}{\sqrt{10}} \).
 

Оффлайн ника

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Re: Треугольник на плоскости. Разные задачи
« Ответ #4 : Ноябрь 06, 2015, 04:04:18 pm »
Даны вершины треугольника \(  \large ABC \): \(  \large A(-5,-3), \ B(7,6), \ C(5,-8) \). Найти:
1) длину стороны \(  \large AB \);
2) уравнения сторон \(  \large AB  \) и \(  \large AC \) в общем виде и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол \(  \large A \) в радианах с точностью до \(  \large 0,01 \);
4) уравнение высоты \(  \large CD \) и её длину;
5) уравнение окружности, для которой высота \(  \large CD \) есть диаметр.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4954
  • Поблагодарили: 1572 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Треугольник на плоскости. Разные задачи
« Ответ #5 : Ноябрь 06, 2015, 06:14:45 pm »
1) Найдём длину стороны \(  \large AB \), используя формулу для расстояния между двумя точками:

\(  \large |AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}= \sqrt{12^2+9^2}=15 \).

2) Запишем уравнения прямых \(  \large AB \) и \(  \large AC \), зная пары точек, принадлежащих этим прямым:

\(  \Large \frac{x-x_A}{x_B-x_A}= \frac{y-y_A}{y_B - y_A} \ \Leftrightarrow \ \frac{x+5}{12}=\frac{y+3}{9} \ \Leftrightarrow \ 3x-4y+3=0 \ \Rightarrow k_{AB}=\frac{3}{4} \);

\(  \Large \frac{x-x_A}{x_C-x_A}= \frac{y-y_A}{y_C - y_A} \ \Leftrightarrow \ \frac{x+5}{10}=\frac{y+3}{-5} \ \Leftrightarrow \ x+2y+11=0 \ \Rightarrow k_{AC}=-\frac{1}{2} \).

3) Вычислим координаты векторов \(  \large \overline{AB} \) и \(  \large \overline{AC} \):

\(  \large \overline{AB}= (7-(-5),6-(-3))=(12,9) \);

\(  \large \overline{AC}=(5-(-5),-8-(-3))=(10,-5) \).

Найдём косинус угла между этими векторами:

\(  \large \cos \varphi = \frac{12 \cdot 10 + 9 \cdot (-5)}{\sqrt{12^2+9^2} \cdot \sqrt{10^2 +(-5)^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \).

4) Уравнение высоты \(  \large CD \) будем искать в виде \(  \large y=-\frac{4}{3} x + b \), так как она опущена на сторону \(  \large AB \), а угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением \(  \large k_1 \cdot k_2=-1 \). Подставим в уравнение \(  \large  y=-\frac{4}{3} x + b \) координаты точки \(  \large C \):

\(  \large -8=-\frac{4}{3} \cdot 5+b \ \Rightarrow \ b=-\frac{4}{3} \).

Итак, \(  \large y=-\frac{4}{3}x - \frac{4}{3} \) - уравнение высоты \(  \large CD \).

5) Найдём точку \(  \large D \) пересечения высоты \(  \large CD \) и стороны \(  \large AB \), для чего решим систему \(  \large \begin{cases} y= -\frac{4}{3}x - \frac{4}{3} \\ y = \frac{3}{4}x+ \frac{3}{4} \end{cases} \). Координаты точки \(  \large D \): \(  \large (-1,0) \).

Найдём середину \(  \large M \) отрезка \(  \large CD \):

\(  \large x_M=\frac{x_C+x_D}{2}=2, \ y_M=\frac{y_C+y_D}{2}=-4 \).

Найдём радиус искомой окружности - длину отрезка \(  \large CM \):

\(  \large R=\sqrt{(5-2)^2+(-8+4)^2}=5 \).

Следовательно, \(  \large (x-2)^2+(y+4)^2=25 \) - уравнение окружности, построенной на высоте \(  \large CD \) как на диаметре.
 

Оффлайн kefir

  • Пользователь
  • Сообщений: 6
    • Просмотр профиля
Re: Треугольник на плоскости. Разные задачи
« Ответ #6 : Ноябрь 12, 2015, 10:19:16 pm »
Даны точки A(-1, -1), B(4, 0), C(5, 3).
1. Найдите длину стороны BC.
2. Найдите косинус угла ABC.
3. Угол ABC - тупой, острый, или прямой?
4. Найдите площадь треугольника ABC.
5. Найдите координаты точки K на отр. AB: AK:KB = 2:5.
6. Напишите нормальное уравнение прямой AB.
7. Найдите длину высоты, опущенной из C на AB.
8. Напишите ур-е прямой, проходящей через C парал. AB.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4954
  • Поблагодарили: 1572 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Треугольник на плоскости. Разные задачи
« Ответ #7 : Ноябрь 18, 2015, 06:47:44 pm »
1) Чтобы найти длину стороны \(  \large BC \), используем формулу для расстояния между двумя точками:

\(  \large BC=\sqrt{(5-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10} \).

2) Найдём длины векторов \(  \large \vec{AB} \) и \(  \large \vec{CB} \):

а) \(  \large \vec{AB}=(4-(-1),0-(-1))=(5,1) \);

б) \(  \large \vec{CB}=(4-5,0-3)=(-1,-3) \).

Найдём косинус угла между данными векторами:

\(  \Large \cos \varphi = \frac{5 \cdot (-1) + 1 \cdot (-3)}{\sqrt{5^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+3^2}}=\frac{-4}{\sqrt{65}} \).

3) Так как косинус угла меньше нуля, то сам угол тупой.

4) Площадь треугольника с вершинами \(  \large A(x_1,y_1)  \), \(  \large B(x_2,y_2)  \), \(  \large C(x_3,y_3)  \) находится по формуле

\(  \large S_{\Delta \ ABC}= \begin{vmatrix} x_2-x_2 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{vmatrix}  \).

Таким образом, задача сводится к вычислению определителя второго порядка. Площадь этого треугольника равна семи квадратным единицам.

5) Пусть \(  \large A (x_1,y_1)  \) и \(  \large B(x_2,y_2)  \) - координаты концов отрезка. Координаты точки \(  \large K  \), делящей отрезок в отношении \(  \large \mu  \), считая от точки \(  \large A  \) к точке \(  \large B  \), находятся по формулам:

\(  \large x=\frac{x_1+ \mu x_2}{1 + \mu}, \ y =\frac{y_1 + \mu y_2}{1 + \mu}  \).

Уточнение: \(  \large \mu = \frac{|AK|}{|KB|}  \). Используя указанные выше формулы, находим:

\(  \large x=\frac{3}{7}, \ y=- \frac{5}{7}  \).

6) Сначала найдём общее уравнение прямой \(  \large AB  \). Для этого используем координаты двух точек, принадлежащих прямой:

\(  \large \frac{x-x_A}{x_B - x_A} = \frac{y-y_A}{y_B - y_A} \Leftrightarrow \frac{x+1}{4+1} = \frac{y+1}{0+1} \Leftrightarrow x-5y-4=0  \).

Значит,

\(  \large A=1,B=-5,C=-4  \).

Нормальное уравнение прямой получается из общего после умножения обеих его частей на нормирующий множитель \(  \large \lambda=\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}  \), где знак противоположен знаку \(  \large C  \). В данном случае нормальное уравнение имеет вид

\(  \large \frac{1}{\sqrt{26}} x - \frac{5}{\sqrt{26}} y - \frac{4}{\sqrt{26}}=0  \).

7) Алгоритм решения данной задачи уже описан выше.

8) Запишем уравнение прямой \(  \large AB  \) с угловым коэффициентом:

\(  \large y= \frac{x}{5} - \frac{4}{5}  \).

Итак, \(  \large k_{AB}= \frac{1}{5}  \). Следовательно, и угловой коэффициент любой прямой, параллельной прямой \(  \large AB  \), равен одной пятой. Тогда это уравнение имеет вид

\(  \large y=\frac{x}{5} + b  \).

Подставив в это уравнение координаты точки \(  \large C  \), находим, что \(  \large b=2  \). Значит, прямая, которая проходит через точку \(  \large C  \) параллельно прямой \(  \large AB  \), задаётся уравнением

\(  \large y=\frac{x}{5}+ 2  \).