Автор Тема: Найти полином для функции трёхзначной логики  (Прочитано 581 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Алла

  • Пользователь
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Разложить в полином по модулю \(  \large 3  \) функцию трёхзначной логики \(  \large f(x,y)=\textrm{min}(x^2, y) \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Найти полином для функции трёхзначной логики
« Ответ #1 : Октябрь 06, 2015, 10:25:15 pm »
1) Вычислим значения логической функции при всевозможных значениях переменных:

а) \(  \large \textrm{min}(0^2,0)=0 \);

б) \(  \large \textrm{min}(0^2,1)=0 \);

в) \(  \large \textrm{min}(0^2,2)=0 \);

г) \(  \large \textrm{min}(1^2,0)=0 \);

д) \(  \large \textrm{min}(1^2,1)=1 \);

е) \(  \large \textrm{min}(1^2,2)=1 \);

ж) \(  \large \textrm{min}(2^2,0)=0 \);

з) \(  \large \textrm{min}(2^2,1)=1 \);

и) \(  \large \textrm{min}(2^2,2)=1 \).

2) Полином в поле \(  \large \mathbb{F}_3 \) будем искать в виде \(  \large p(x,y)=a_1x^2y^2+a_2xy^2+a_3x^2y+a_4xy+a_5x^2+a_6y^2+a_7x+a_8y+a_9 \) (здесь \(  \large + \) обозначает сложение в поле \(  \large \mathbb{F}_3 \)). Подставляя поочерёдно всевозможные значения переменных, получим систему уравнений:

\(  \large \begin{cases} a_9=0 \\ a_6+a_8+a_9=0 \\ a_6+2a_8+a_9=0 \\ a_5+a_7+a_9=0 \\ a_1+ \cdots +a_9=1 \\ a_1+a_2+2a_3+2a_4+a_5+a_6+a_7 + 2a_8 +a_9=1 \\ a_5+2a_7+a_9=0 \\ a_1+2a_2+a_3+2a_4 +a_5+a_6+2a_7+a_8+a_9=1 \\ a_1+2a_2+2a_3+a_4+a_5+a_6+2a_7+2a_8+a_9=1 \end{cases} \ \Leftrightarrow \\ \large \Leftrightarrow \ \begin{cases} a_9=0 \\ a_6+a_8=0 \\ a_6+2a_8=0 \\ a_5+a_7=0 \\ a_5+2a_7=0 \\ a_1+ \cdots +a_8=1 \\  a_1+a_2+2a_3+2a_4+a_5+a_6+a_7 + 2a_8 =1 \\ a_1+2a_2+a_3+2a_4 +a_5+a_6+2a_7+a_8=1 \\ a_1+2a_2+2a_3+a_4+a_5+a_6+2a_7+2a_8=1\end{cases} \ \Leftrightarrow \\ \large \Leftrightarrow \ \begin{cases} a_1+2a_2+2a_3+a_4=1 \\ a_1+2a_2+a_3+2a_4=1 \\ a_1+a_2+2a_3+2a_4=1 \\ a_1+a_2+a_3+a_4=1 \\ a_5= \cdots=a_9=0 \end{cases} \ \Leftrightarrow \\ \large  \Leftrightarrow \begin{cases} 2a_1+a_2=2 \\ 2a_1+a_3=2 \\ 2a_1+2a_4=2 \\ a_1+a_2+a_3+a_4=1 \\ a_5=...=a_9=0 \end{cases} \ \Leftrightarrow \\ \large \Leftrightarrow \ \begin{cases} a_2=2+a_1 \\ a_3=2+a_1 \\ 2a_4=2+a_1 \\ a_1+a_2+a_3+a_4=1 \\ a_5=\cdots =a_9  \end{cases} \ \Leftrightarrow \\  \large \Leftrightarrow \ \begin{cases} a_2=2+a_1 \\ a_3=2+a_1 \\ 2a_4=2+a_1 \\ a_1+2+a_1+2+a_1+a_4=1 \\ a_5= \cdots =a_9=0 \end{cases}  \ \Leftrightarrow \\ \large \Leftrightarrow \ \begin{cases} a_1=1 \\ a_2=\cdots =a_9=0 \end{cases} \)

Итак, \(  \large p(x,y)=x^2y^2 \).
 

Оффлайн Алла

  • Пользователь
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Найти полином для функции трёхзначной логики
« Ответ #2 : Октябрь 06, 2015, 11:09:05 pm »
Большое спасибо.