Автор Тема: Решить задачу с помощью формулы включений-исключений  (Прочитано 1619 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Никита

  • Пользователь
  • Сообщений: 32
    • Просмотр профиля
Из ста студентов университета английский язык знают 28 студентов, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка знают 3 студентов. Сколько студентов университета не знают ни одного из трёх языков? знают только английский язык? знают только немецкий язык? знают только французский язык? знают два языка?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
1) Пусть \(  \large D \) - множество студентов университета, \(  \large A, \ N, \ F \) - множества студентов, знающих английский, немецкий и французский языки соответственно. Тогда, согласно условию задачи, мощности этих множеств таковы: \(  \large |D|=100, \ |A|=28, \ |N|=30, \ |F|=42 \). Кроме того, известно, что \(  \large |A \cap N|=8 , \ | A \cap F|=10, \ |N \cap F|=5, \ |A \cap N \cap F|=3 \). Используем формулу включений и исключений для трёх множеств и найдём количество студентов, говорящих хотя бы на одном из этих языков:

\(   |A \cup N \cup F|=|A|+|N|+|F| - |A \cap N|-|A \cap F|-|N \cap F|+ |A \cap N \cap F|=28+30+42-8-10-5+3=80 \).

Значит, число студентов, не говорящих ни на одном из этих языков, находится так: \(  \large |D|-|A \cup N \cup F|=100-80=20 \).

2) Найдём, сколько студентов говорит только на английском, только на немецком, только на французском языках:

а) \(  \large |A|-|A \cap N|-|A \cap F|+ |A \cap N \cap F|=13 \);

б) \(  \large |N|-|A \cap N| - |N \cap F| + |A \cap N \cap F|=20 \);

в) \(  \large |F| - |A \cap F| - |N \cap F|+ |A \cap N \cap F|=24 \).

3) Найдём количество студентов, говорящих на английском и французском, английском и немецком, французском и немецком языках:

а) \(  \large |A \cup N \cup F|-|N|+|A \cap N| + |N \cap F|-|A \cap N \cap F|=60 \);

б) \(  \large |A \cup N \cup F|-|F|+|A \cap F| + |N \cap F|-|A \cap N \cap F|=50 \);

в) \(  \large |A \cup N \cup F|-|A|+|A \cap N| + |A \cap F|-|A \cap N \cap F|=67 \).
 

Оффлайн Никита

  • Пользователь
  • Сообщений: 32
    • Просмотр профиля
Благодарю! Сразу видно, человек считает математику своим призванием!
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Пожалуйста.
 

Оффлайн dmitry0406

  • Пользователь
  • Сообщений: 25
    • Просмотр профиля
Здравствуйте!
Помогите пожалуйста решить задачу с использованием формулы включений-исключений:

В камеру помещен 31 заключенный, известно, что 20 заключенных отбывают наказание по 105 ст. УК РФ, по ст. 111 – 14 заключенных, по ст. 116 – 11 человек. Одновременно по двум статьям 105 и 111 осуждено 6 человек, по 105 и 116 – 5 человек, по 111 и 116 – 3 человека. Сколько человек в камере осуждено по 3 статьям одновременно?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Пусть \(  \large A  \), \(  \large B  \) и \(  \large C  \) - множества тех, кто отбывает наказание по ст. 105 (убийство  :-\), ст. 111 и ст. 116 соответственно. Формула включений и исключений для трёх множеств имеет вид

\(  \large |A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B| - |B \cap C|-|A \cap C| +|A \cap B \cap C|  \),

где \(  \large |A \cup B \cup C |  \)- количество элементов множества \(  \large A \cup B \cup C  \) (общее количество заключённых), \(  \large |A \cap B|   \) - количество элементов множества \(  \large A \cap B  \) (количество заключённых, отбывающих наказание по статьям 105 и 111). Остальное - аналогично.

В задаче требуется найти \(  \large |A \cap B \cap C|  \) - количество элементов множества \(  \large A \cap B \cap C  \) (количество человек, отбывающих наказание по трём статьям). Имеем:

\(  \large |A \cap B \cap C|=|A \cup B \cap C|-|A|-|B|-|C|+|A \cap B|+|B \cap C|+|A \cap C|=  \)

\(  \large  =31-20-14-11+6+5+3=0 \).

Итак, в камере нет ни одного заключённого, отбывающего наказание по всем трём статьям.
 

Оффлайн Zebraya

  • Пользователь
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
В объединении множеств А,В и С содержится 34 элемента. Множество А состоит из 19 элементов, множество В - из 19 элементов, множество С - из 21 элемента. В пересечении множеств А и В содержится 11 элементов, в пересечении А и С - 12 элементов, в пересечении В и С - 10 элементов. Сколько элементов содержится только в множестве А?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Используйте формулу включений и исключений.
 

Оффлайн Zebraya

  • Пользователь
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Не представляю как ее тут использовать :(
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
А саму формулу представляете?
 

Оффлайн Zebraya

  • Пользователь
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Вроде разобралась. ответ 4?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Было бы здорово увидеть Ваше решение.
 

Оффлайн Zebraya

  • Пользователь
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Так?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
У меня тоже получилось четыре. Объясню. Начнём с более простого примера, где посчитать можно непосредственно. Пусть \(  \large A=\{1,2,3,4,5\}  \), \(  \large B= \{4,5,6,7 \}  \). Тогда \(  \large |A|=5  \), \(  \large |B|=4  \). Это мощности соответствующих множеств. Если множества конечны, то их мощности равны количеству элементов, принадлежащих этим множествам. Тогда \(  \large A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7 \}  \), \(  \large A \cap B=\{ 4,5\} \) (элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств ровно семь, а принадлежащих, обоим множествам сразу, - ровно два). Следовательно, \(  \large |A \cup B|=7  \), \(  \large |A \cap B|=2  \). Используем формулу включений-исключений:

\(  \large |A \cup B|=|A| + |B|-|A \cap B|  \).

Имеем: \(  \large 7=5+4-2  \). Всё верно. Мощность объединения двух конечных множества, равна сумме мощностей каждого из них минус мощность пересечения этих множеств. Теперь понятно (а если не понятно, то нужно глянуть на рисунок 1), что количество элементов, принадлежащих только множеству \(  \large A  \), равно разности количества элементов множества \(  \large A  \) и количества элементов множества \(  \large A \cap B  \). Из круга \(  \large A  \) нужно "выгрызть" кусок, принадлежащих и множеству \(  \large B  \).

Переходим к нашей задаче. Известно, что \(  \large |A \cup B \cap C|=34  \), \(  \large |A|=|B|=19  \), \(  \large |C|=21  \), \(  \large |A \cap B|=11  \), \(  \large |A \cap C|=12  \), \(  \large |B \cap C|=10  \). Далее смотрим на рисунок 2 и понимаем, как найти количество элементов, которые принадлежат множеству \(  \large A  \) и только ему. Из круга \(  \large A  \) нам нужно "выгрызть" два куска, которые принадлежат множествам \(  \large B  \) и \(  \large C  \), но после этого нужно прибавить центральную часть (пересечение всех трёх множеств), иначе получится, что эту часть мы "выгрызли" дважды. Используя формулу включений-исключений для случая трёх множеств, находим:

\(  \large |A \cap B \cap C|=|A \cup B \cup C| -|A|-|B| -|C| + |A \cap B| + |A+C|+|B \cap C|=8  \).

"Выгрызаем" то, оговорено выше:

\(  \large X=|A| - |A \cap C| -|A \cap B| + |A \cap B \cap C|=4  \).
 
Сказали спасибо: Zebraya