Автор Тема: Решить систему теоретико-множественных уравнений  (Прочитано 609 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн star

  • Пользователь
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Помогите решить систему: \(  \large \begin{cases} X \cap B=X \cup A \\ X \cup C=X \cap A \\ \overline{A} \setminus X = C \setminus A \end{cases} \).
 

Оффлайн phobos

  • Модератор
  • Сообщений: 95
  • Поблагодарили: 85 раз(а)
    • Просмотр профиля
Построим множества общего положения \(  \large A,\ B,\ C,\ X \), являющиеся подмножеством универсального множества \(  \large U \). Для этого выпишем все \(  \large 16 \) различных двоичных наборов размерности \(  \large 4 \).

\( \begin{array}{|c|c|}
\hline
 № &  A &  B &  C &  D \\
\hline
 1 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
\hline
 2 &  0 &  0 &  0 &  1 \\
\hline
 3 &  0 &  0 &  1 &  0 \\
\hline
 4 &  0 &  0 &  1 &  1 \\
\hline
 5 &  0 &  1 &  0 &  0 \\
\hline
 6 &  0 &  1 &  0 &  1 \\
\hline
 7 &  0 &  1 &  1 &  0 \\
\hline
 8 &  0 &  1 &  1 &  1 \\
\hline
 9 &  1 &  0 &  0 &  0 \\
\hline
 10 &  1 &  0 &  0 &  1 \\
\hline
 11 &  1 &  0 &  1 &  0 \\
\hline
 12 &  1 &  0 &  1 &  1 \\
\hline
 13 &  1 &  1 &  0 &  0 \\
\hline
 14 &  1 &  1 &  0 &  1 \\
\hline
 15 &  1 &  1 &  1 &  0 \\
\hline
 16 &  1 &  1 &  1 &  1 \\
\hline
\end{array} \)

Пусть разряды этих наборов слева направо соответствуют множествам \(  \large A,\ B,\ C,\ X \). Символом \(  \large 1 \) обозначим список элементов универсального множестве \(  \large U \), не попавших ни в одном из множеств \(  \large A,\ B,\ C,\ X \), символом \(  \large 4 \) --- список элементов, не попавших ни в \(  \large A \), ни в \(  \large B \), но попавших в \(  \large C,\ X \), и т.д. Будем иметь:

\(  \large U=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ ,11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16\right\}; \)

\(  \large A=\left\{9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16\right\}; \)

\(  \large B=\left\{5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16\right\}; \)

\(  \large C=\left\{3,\ 4,\ 7,\ 8,\ 11,\ 12,\ 15,\ 16\right\}; \)

\(  \large X=\left\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16\right\}. \)

\(  \large 1. \) \(  \large X\cap B=\left\{6,\ 8,\ 14,\ 16\right\} \), \(  \large X\cup A=\left\{9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8\right\} \). Эти множества равны в силу первого уравнения системы, значит, списки элементов \(  \large 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 15,\ 2,\ 4 \) пусты. Получили:

\(  \large U=\left\{1,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 14,\ 16\right\}; \)

\(  \large A=\left\{14,\ 16\right\}; \)

\(  \large B=\left\{5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 14,\ 16\right\}; \)

\(  \large C=\left\{3,\ 7,\ 8,\ 16\right\}; \)

\(  \large X=\left\{6,\ 8,\ 14,\ 16\right\}. \)

\(  \large 2. \) \(  \large X\cup C=\left\{6,\ 8,\ 14,\ 16,\ 3,\ 7\right\} \), \(  \large X\cap A=\left\{14,\ 16\right\} \). В силу второго уравнения системы данные множества равны, следовательно, списки элементов \(  \large 6,\ 8,\ 3,\ 7 \) пусты, и наши множества примут вид:

\(  \large U=\left\{1,\ 5,\ 14,\ 16\right\}; \)

\(  \large A=\left\{14,\ 16\right\}; \)

\(  \large B=\left\{5,\ 14,\ 16\right\}; \)

\(  \large C=\left\{16\right\}; \)

\(  \large X=\left\{14,\ 16\right\}. \)

\(  \large 3. \) \(  \large \overline{A}=\left\{1,\ 5\right\},\ \overline{A}\backslash X=\left\{1,\ 5\right\} \), \(  \large C\backslash A \) в силу третьего уравнения системы \(  \large \overline{A}\backslash X=C\backslash A \), тогда списки элементов \(  \large 1,\ 5 \) должны быть пусты. Имеем:

\(  \large U=\left\{14,\ 16\right\}; \)

\(  \large A=\left\{14,\ 16\right\}; \)

\(  \large B=\left\{14,\ 16\right\}; \)

\(  \large C=\left\{16\right\}; \)

\(  \large X=\left\{14,\ 16\right\}. \)

Видим, что \(  \large X=A=B=U \), \(  \large C\subseteq A\subseteq B\subseteq U \).
 
Сказали спасибо: Admin, star

Оффлайн star

  • Пользователь
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Спасибо за помощь!