Автор Тема: Найти точку пересечения медианы и высоты  (Прочитано 3760 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Brun Hilde

  • Пользователь
  • Сообщений: 15
    • Просмотр профиля
Даны вершины треугольника АВС: А(2,4), В(5,2), С(0,0). Найти точку пересечения медианы и высоты
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти точку пересечения медианы и высоты
« Ответ #1 : Октябрь 03, 2015, 11:39:28 am »
Уточните условие: у треугольника три медианы и три высоты. Точку пересечения какой медианы и какой высоты нужно найти?
 

Оффлайн Brun Hilde

  • Пользователь
  • Сообщений: 15
    • Просмотр профиля
Re: Найти точку пересечения медианы и высоты
« Ответ #2 : Октябрь 03, 2015, 12:36:17 pm »
звучит так "Найти точки пересечения медиан и высот в треугольнике с вершинами А,В,С"
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти точку пересечения медианы и высоты
« Ответ #3 : Октябрь 03, 2015, 01:44:20 pm »
Нужен рисунок. У меня сейчас нет возможности его отправить.
Опустим перпендикуляр из точки В на сторону ОА. Пусть N - основание перпендикуляра. И пусть М - середина стороны АВ. Найдём уравнения прямых BN и МО. Сначала найдём уравнение прямой АО, а затем, зная это уравнение, запишем уравнение перпендикуляра BN. Итак, (x - x_A)/(x_B - x_A)=( y - y_A)/(y_B - y_A) равносильно y=2x. Значит, уравнение искомого перпендикуляра имеет вид y=-0,5x+b. Подставив сюда координаты точки В, получим уравнение ВN: x+2y-13=0. Составим уравнение МО. Найдём коодинаты точки М: (x_A+x_B)/2=3,5; (y_A+y_B)/2=3.  Итак MO задаётся уравнением 6x- 7y=0. Для отыскания точки пересечения медианы и высоты нужно решить систему уравнений 6x- 7y=0 и x+2y-13=0.
Точно так же для двух других точек.
 

Оффлайн Тичер

  • Пользователь
  • Сообщений: 36
    • Просмотр профиля
Re: Найти точку пересечения медианы и высоты
« Ответ #4 : Октябрь 04, 2015, 05:24:22 pm »
звучит так "Найти точки пересечения медиан и высот в треугольнике с вершинами А,В,С"

Тогда надо искать отдельно точку пересечения медиан и точку пересечения высот. Нужно написать уравнения двух медиан (выше есть пример) и найти их точку пересечения. также проделать с высотами.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти точку пересечения медианы и высоты
« Ответ #5 : Октябрь 10, 2015, 07:19:57 pm »
1) Найдём точку пересечения медиан. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Поэтому достаточно найти точку пересечения двух любых медиан. Найдём координаты точек D и F (см. рисунок). Имеем:

а) \(  \Large x_D-=\frac{x_C+x_B}{2}=\frac{5}{2}, \ y_D=\frac{y_C+y_B}{2}=1 \);

б) \(  \Large x_F-=\frac{x_A+x_C}{2}=1, \ y_F=\frac{y_A+y_C}{2}=2 \).

Итак, точка D имеет координаты \(  \large \left( \frac{5}{2},1 \right) \), а точка F - \(  \large (1,2) \).
Запишем, уравнения прямых AD и BF:

а) \(  \Large \frac{x-x_A}{x_D-x_A}= \frac{y-y_A}{y_D-y_A} \ \Leftrightarrow \ y=-6x+16 \);

б) \(  \Large \frac{x-x_B}{x_F-x_B}= \frac{y-y_B}{y_F-y_B} \ \Leftrightarrow \ y=-2 \).

Найдём точку М (в этой точке пересекаются медианы треугольника). Для этого решим систему уравнений:

\(  \large \begin{cases}y=-6x+16 \\ y=2  \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x=\frac{7}{3}  \\ y=2\end{cases} \).

Итак, \(  \large M \ \left( \frac{7}{3}, 2 \right) \) - точка пересечения медиан треугольника ABC.