Автор Тема: Даны координаты вершин. Найти площадь четырехугольника  (Прочитано 371 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн pandochka

  • Пользователь
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
Даны точки A(0; 2; 0), B(1; 0; 0), C(2; 0; 2), D(1; 2; 2)
Найти площадь четырехугольника
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Предположим, что такой четырёхугольник существует. Тогда \(  \large S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC} \), где \(  \large S_{ABC}=\frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{BC}| \), \(  \large S_{ADC}=\frac{1}{2}|\overline{AD} \times \overline{DC}| \).

Найдём координаты векторов \(  \large AB, \ BC, \ AD, \ DC \):

а) \(  \large \overline{AB}=(1-0,0-2,0-0)=(1,-2,0) \);
б) \(  \large \overline{BC}=(2-1,0-0,2-0)=(1,0,2) \);
в) \(  \large \overline{AD}=(1-0,2-2,2-0)=(1,0,2)  \);
г) \(  \large \overline{DC}=(2-1,0-2,2-2)=(1,-2,0) \).

Вычислим векторные произведения:

а) \(  \large  \overline{AB} \times \overline{BC}= \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 2  \end{vmatrix}=(-4,-2,2) \);

б) \(  \large  \overline{AD} \times \overline{DC}= \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=(4,2,-2) \).

Следовательно, \(  \large S_{ABCD}=\frac{1}{2} \left( \sqrt{16+4+4} + \sqrt{16+4+4} \right)=\sqrt{6} \).