Предположим, что такой четырёхугольник существует. Тогда \( \large S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC} \), где \( \large S_{ABC}=\frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{BC}| \), \( \large S_{ADC}=\frac{1}{2}|\overline{AD} \times \overline{DC}| \).
Найдём координаты векторов \( \large AB, \ BC, \ AD, \ DC \):
а) \( \large \overline{AB}=(1-0,0-2,0-0)=(1,-2,0) \);
б) \( \large \overline{BC}=(2-1,0-0,2-0)=(1,0,2) \);
в) \( \large \overline{AD}=(1-0,2-2,2-0)=(1,0,2) \);
г) \( \large \overline{DC}=(2-1,0-2,2-2)=(1,-2,0) \).
Вычислим векторные произведения:
а) \( \large \overline{AB} \times \overline{BC}= \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}=(-4,-2,2) \);
б) \( \large \overline{AD} \times \overline{DC}= \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=(4,2,-2) \).
Следовательно, \( \large S_{ABCD}=\frac{1}{2} \left( \sqrt{16+4+4} + \sqrt{16+4+4} \right)=\sqrt{6} \).
