Автор Тема: Экстремаль функционала  (Прочитано 491 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн komplex

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Экстремаль функционала
« : Февраль 24, 2016, 10:25:01 pm »
Помогите пожалуйста с ещё одной задачей. Надо найти экстремаль функционала: \(  \large \int\limits_{0}^{\pi} (4y \cos x +y'^2 -y^2) dx \), \(  \large y(0)=y( \pi)=0 \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Экстремаль функционала
« Ответ #1 : Февраль 24, 2016, 10:32:29 pm »
А что именно не получается? Начните с составления уравнения Эйлера. Посмотрите Вашу вчерашнюю задачу. Она подробно решена.
 

Оффлайн komplex

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Re: Экстремаль функционала
« Ответ #2 : Февраль 27, 2016, 07:42:50 pm »
Не пойму, как составить уравнение, как найти производные. Помогите, пожалуйста.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Экстремаль функционала
« Ответ #3 : Февраль 27, 2016, 11:08:11 pm »
Так как

\(  \Large  \frac{\partial{F}}{\partial{y}}=4 \cos x-2y \),

\(  \Large   \frac{\partial{F}}{\partial{y'}}=2y' \),

\(  \Large  \frac{ \textrm{d}}{ \textrm{dx}} \left(  \frac{\partial{F}}{\partial{y'}}  \right) =2y'' \),

то уравнение Эйлера имеет вид:

\(  \Large 4 \cos x-2y-2y''=0 \)

или

\(  \large y''+y=2 \cos x \).

Получили линейное неоднородное уравнение второго порядка. Составляем характеристическое уравнение и находим общее решение соответствующего однородного уравнения...

 
Сказали спасибо: komplex

Оффлайн komplex

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Re: Экстремаль функционала
« Ответ #4 : Февраль 29, 2016, 12:18:19 pm »
\(  \large \lambda^2+1=0 \)

\(  \large \lambda^2=-1 \)

\(  \large \lambda_{1,2}= \pm i \)

\(  \large y=C_1 \cos x + C_2 \sin x \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Экстремаль функционала
« Ответ #5 : Февраль 29, 2016, 01:28:14 pm »
А дальше используйте метод подбора или метод вариации произвольной постоянной.
 

Оффлайн komplex

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Re: Экстремаль функционала
« Ответ #6 : Февраль 29, 2016, 03:57:07 pm »
Я совсем забыл сложные диффуры. Помогите с уравнением пожалуйста.