Автор Тема: Найти экстремаль функционала  (Прочитано 2323 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн komplex

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Найти экстремаль функционала
« : Февраль 23, 2016, 07:50:21 pm »
Помогите найти экстремаль функционала \(  \large \int\limits_{-1}^{0} (y'^2-2xy)dx \), \(  \large y(-1)=0, \ y(0)=2 \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремаль функционала
« Ответ #1 : Февраль 23, 2016, 09:37:07 pm »
Составим и решим уравнение Эйлера:

\(  \Large \frac{\partial{F}}{\partial{y}} -\frac{ \textrm{d}}{ \textrm{dx}} \left(  \frac{\partial{F}}{\partial{y'}}  \right)=0  \),

где \(  \large F(x,y,y')=y'^2-2xy \).

Поскольку

\(  \Large  \frac{\partial{F}}{\partial{y}}=-2x \),

\(  \Large   \frac{\partial{F}}{\partial{y'}}=2y' \),

\(  \Large  \frac{ \textrm{d}}{ \textrm{dx}} \left(  \frac{\partial{F}}{\partial{y'}}  \right) =2y'' \),

то уравнение Эйлера имеет вид:

\(  \Large -2x-2y''=0 \)

или

\(  \Large y''=-x \).

Дважды интегрируем обе части:

\(  \Large y'=C_1-\frac{x^2}{2} \),

\(  \Large y=C_2+C_1x-\frac{x^3}{6} \).

Используя граничные условия, составим и решим систему линейных уравнений для определения значений постоянных:

\(  \Large \begin{cases} C_2-C_1+\frac{1}{6}=0 \\ C_2+C_1 \cdot 0-\frac{0^3}{6}=2 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} C_2=2 \\ C_1=\frac{13}{6} \end{cases} \).

Следовательно, кривая \(  \Large y=2 + \frac{13}{6}x-\frac{x^3}{6}  \) - искомая экстремаль.


 
Сказали спасибо: komplex, phobos

Оффлайн komplex

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Re: Найти экстремаль функционала
« Ответ #2 : Февраль 23, 2016, 09:45:41 pm »
Спасибо!