Автор Тема: Разложить функцию в ряд Тейлора  (Прочитано 361 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн komplex

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Разложить функцию в ряд Тейлора
« : Сентябрь 29, 2015, 12:41:52 am »
Разложите в ряд Тейлора функцию \(  \large  f(z)=(1-z)^{-3} \) no степеням \(  \large z \). Укажите область, в которой справедливо это разложение.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Разложить функцию в ряд Тейлора
« Ответ #1 : Октябрь 01, 2015, 05:06:17 pm »
Дифференцируя обе части разложения \(  \large \frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \), получим:

1) \(  \large \left( \frac{1}{1-z} \right)'=((1-z)^{-1})=-1 \cdot (1-z)^{-2} \cdot (1-z)'=(1-z)^{-2} \);

2) \(  \large \left( \sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n \right)'=(1+z+z^2+ \cdots +z^n+ \cdots)'=0+1+2z+ \cdots + n z^n + \cdots=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n z^{n-1} \).

Итак, получили другое разложение: \(  \Large \frac{1}{(1-z)^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n z^{n-1}  \). Продифференцируем обе его части:

1) \(  \large ((1-z)^{-2})'=-2 \cdot (1-z)^{-3} \cdot (1-z)'=2 (1-z)^{-3} \);

2) \(  \large \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} n z^{n-1} \right)'=(1+2z+ \cdots + n z^n + \cdots)'=2+6z+ \cdots + (n-1)n z^{n-2}= \sum\limits_{n=2}^{\infty} (n-1)nz^{n-2} \).

Следовательно, \(  \Large \frac{1}{(1-z)^3}=\frac{1}{2 }\sum\limits_{n=2}^{\infty} (n-1)nz^{n-2}= \frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)z^{n}  \).

Используя признак Даламбера в предельной форме, найдём область сходимости данного ряда:

\(  \large \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{(n+3)(n+2)z^{n+1}}{(n+2)(n+1)z^n} \right|=\lim\limits_{n \to \infty} |z|=|z| \lim\limits_{n \to \infty}1=|z|<1 \).

Итак, ряд \(  \large \frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) z^n \) сходится при \(  \large |z|<1 \). Исследуем вопрос о сходимости в граничных точках \(  \large z= \pm 1 \):

1) при \(  \large z=1 \) \(  \large \frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) z^n= \frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)  \) (этот ряд расходится, так как \(  \large \lim\limits_{n \to \infty} (n+2)(n+1)= \infty \));

2) при \(  \large z=-1 \) \(  \large \frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) z^n= \frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)(-1)^n  \) (данный ряд расходится, так как предел \(  \large \lim\limits_{n \to \infty} (n+2)(n+1)(-1)^n \) не существует).

Итак, \(  \Large \frac{1}{(1-z)^3}=\frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)z^n \) при \(  \large |z|<1 \).
 
Сказали спасибо: komplex

Оффлайн komplex

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Разложить функцию в ряд Тейлора
« Ответ #2 : Октябрь 02, 2015, 03:38:17 pm »
Спасибо большое!