Автор Тема: Решить систему уравнений тремя способами  (Прочитано 1094 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Kurkem

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Решить систему уравнение методами Крамера и Гаусса, а также с помощью обратной матрицы:

\(  \large \begin{cases} 2x_1-x_2+2x_3=3 \\ x_1+x_2+2x_3=-4 \\ 4x_1+x_2+4x_3=-3 \end{cases} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Решить систему уравнений тремя способами
« Ответ #1 : Сентябрь 28, 2015, 09:20:13 pm »
Метод Крамера


\(  \Large x_1=\frac{D_1}{D} \)

\(  \Large x_2=\frac{D_2}{D} \)

\(  \Large x_3=\frac{D_3}{D} \)

\(  \large D=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{vmatrix} \)

\(  \large D_1=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ -4 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & 4 \end{vmatrix} \)

\(  \large D_2=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & -4 & 2 \\ 4 & -3 & 4 \end{vmatrix} \)

\(  \large D_3=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -4 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} \)

Вычислим определители по правилу Саррюса:

1) \(  \large D=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{vmatrix}=2 \cdot 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 2=-6 \);

2) \(  \large D_1=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ -4 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & 4 \end{vmatrix}=3 \cdot 1 \cdot 4+ 3 \cdot 1 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 \cdot 1=-6 \);

3) \(  \large D_2=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & -4 & 2 \\ 4 & -3 & 4 \end{vmatrix}=-2 \cdot 4 \cdot 4 -1 \cdot 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot 2+ 4 \cdot 4 \cdot 2- 1 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \cdot 3=18 \);

4) \(  \large D_3=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -4 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix}=-2 \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 \cdot 1 \cdot 3- 4 \cdot 1 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 \cdot 1=6 \).

Значит, \(  \large x_1=\frac{-6}{-6}=1, \ x_2=\frac{18}{-6}=-3, \ x_3=\frac{6}{-6}=-1 \).


Метод Гаусса


\(  \large \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2  &-4 \\ 2 & -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 4 & -3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2  &-4 \\ 0 & 3 & 2 & -11 \\ 0 & -3 & -4 & 13 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2  &-4 \\ 0 & 3 & 2 & -11 \\ 0 & 0 & -2 & 2\end{pmatrix}   \)  \(  \large \Rightarrow \ \begin{cases} x_1+x_2+2x_3=-4 \\ 3x_2+2x_3=-11 \\ -2x_3=2 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x_1=-4+3+2=1 \\ x_2=\frac{-11+2}{3}=-3 \\ x_3=-1 \end{cases}  \)


Метод обратной матрицы


Запишем систему уравнений в матричной форме:

\(  \large \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2  \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ - 4 \\ -3 \end{pmatrix} \).

Пусть \(  \large A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4  \end{pmatrix} \), \(  \large X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2  \\ x_3 \end{pmatrix} \), \(  \large B= \begin{pmatrix} 3 \\ - 4 \\ -3 \end{pmatrix} \). Тогда \(  \large X=A^{-1} \cdot B \).

Найдём матрицу \(  \large A^{-1} \), используя метод элементарных преобразований:

\(  \large \begin{pmatrix}2 & -1 & 2 &1 & 0& 0 \\ 1& 1 & 2 & 0 & 1 & 0  \\ 4 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim   \)

\(  \large \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 0 & 1& 0 \\ 2 & -1 & 2 &1 & 0& 0 \\ 4 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 3 & 2 &-1 & 2& 0 \\ 0 & -3 & -4 & 0 & -4 & 1 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 3 & 2 &-1 & 2& 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & -1 & -1& 1 \\ 0 & 3 & 0 &-2 & 0& 1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix}-3 & -3 &0 & 3 & 3& -3 \\ 0 & 3 & 0 &-2 & 0& 1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix}-3 & 0 &0 & 1 & 3& -2 \\ 0 & 3 & 0 &-2 & 0& 1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix}1 & 0 &0 & -\frac{1}{3} & -1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 &-\frac{2}{3} & 0& \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 1 &- \frac{1}{2} \end{pmatrix}   \)

Следовательно, \(  \large A^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & -1 & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & 0& \frac{1}{3} \\   \frac{1}{2} & 1 &- \frac{1}{2} \end{pmatrix} \). Тогда \(  \large X=\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & -1 & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & 0& \frac{1}{3} \\   \frac{1}{2} & 1 &- \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ - 4 \\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+4-2 \\ -2+0-1 \\ \frac{3}{2}-4 + \frac{3}{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \).
 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Решить систему уравнений тремя способами
« Ответ #2 : Октябрь 01, 2015, 08:06:43 am »
Есть еще один метод - "конденсация Доджсона". Не поленитесь - посмотрите в Википедии. Очень простой и красивый!
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Решить систему уравнений тремя способами
« Ответ #3 : Октябрь 01, 2015, 10:12:09 am »
Есть еще один метод - "конденсация Доджсона".

От автора "Алисы в стране чудес"?
 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Решить систему уравнений тремя способами
« Ответ #4 : Октябрь 01, 2015, 04:22:13 pm »
Да, он был прежде всего отличным математиком. Хотя прославился в облике сказочника. Бывает и такое.
 

Оффлайн LiliLeron

  • Пользователь
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
Re: Решить систему уравнений тремя способами
« Ответ #5 : Октябрь 08, 2015, 11:37:14 pm »
Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной  матрицы:

\(  \large \begin{cases} 2x-y=-1 \\ x+2y+z=-2 \\ y+z=-2 \end{cases}  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Решить систему уравнений тремя способами
« Ответ #6 : Октябрь 09, 2015, 01:34:22 am »
Пусть \(  \large A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \ X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \). Тогда систему уравнений можно записать в виде \(  \large AX=B \). Следовательно, \(  \large X=A^{-1}B \). Для отыскания обратной матрицы используем элементарные преобразования:


\(  \large \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1  \\ 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1  \\ 0 & -5 & -2 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1  \\  0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1  \\ 0 & -5 & -2 & 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1  \\  0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1  \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -2 & 5 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1  \\  0 & -3 & 0 & 1 & -2 & 2  \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -2 & 5 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix} -3 & -6 & 0 & 1 & -5 & 5  \\  0 & -3 & 0 & 1 & -2 & 2  \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -2 & 5 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1  \\  0 & -3 & 0 & 1 & -2 & 2  \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -2 & 5 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}  & \frac{5}{3}\end{pmatrix} \)

Итак, \(  \large A^{-1}=\begin{pmatrix}  \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\  -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \\  \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}  & \frac{5}{3}\end{pmatrix} \).

Значит, \(  \large X=\begin{pmatrix}  \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\  -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \\  \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}  & \frac{5}{3}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{7}{3} \end{pmatrix} \).

Следовательно, \(  \large x=-\frac{1}{3}, \ y=\frac{1}{3}, z=-\frac{7}{3}  \).