Автор Тема: Общее решение и фундаментальная система  (Прочитано 286 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн lin_al

  • Пользователь
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Помогите найти общее решение и фундаментальную систему решений системы уравнений:

\[  \begin{cases} x_1-x_3+x_5=0 \\ x_2-x_4+x_6=0 \\ x_1-x_2+x_5-x_6=0 \\ x_2-x_3+x_6=0 \\ x_1-x_4+x_5=0 \end{cases} \]
 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 33
  • Поблагодарили: 20 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение и фундаментальная система
« Ответ #1 : Октябрь 07, 2015, 07:07:54 am »
\(  \large x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3 \,  \)  задаются

\(  \large x_4=x_3 \)

\(  \large x_5=x_3-x_1 \)

\(  \large x_6=x_3-x_2 \)

Больше из этого не выжмешь.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение и фундаментальная система
« Ответ #2 : Октябрь 07, 2015, 08:45:36 pm »
1) Запишем матрицу однородной системы линейных уравнений и найдём её ранг с помощью элементарных преобразований:

\(  \large A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0  & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 &1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim  \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0  & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim   \)

\(  \large \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0  & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0  & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1  \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim  \)

\(  \large \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0  & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0  & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim  \) \(  \large \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0  & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}  \)

Итак, \(  \large \textrm{rang} A=3<6=n \). Следовательно, система уравнений имеет ненулевые решения.

Пусть \(  \large \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} \) - выбранный нами базисный минор. Тогда \(  \large x_1, x_2, x_3 \) - главные переменные, \(  \large x_4=C_1, x_5=C_2, x_6=C_3 \) - свободные переменные. Имеем:

\(  \large \begin{cases} x-1-x_3+x_5=0 \\ x_2-x_4+x_6=0 \\ x_3-x_4=0 \\ x_4=C_1 \\ x_5=C_2 \\ x_6=C_3 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x_1=C_1-C_2 \\ x_2=C_1-C-3 \\ x_3=C_1 \\ x_4=C_1 \\ x_5=C_2 \\ x_6=C_3 \end{cases} \)

Значит, \(  \large (С_1-С_2,С_1-С_3,С_1,С_1, С_2, С_3) \) - общее решение.

2) Найдём фундаментальную систему решений. В общем решении положим:

а) \(  \large C_1=1,C_2=C_3=0 \) - \(  \large (1,1,1,1,0,0) \);
б) \(  \large C_1=0,C_2=1, C_3=0  \) - \(  \large (-1,0,0,0,1,0) \);
в) \(  \large C_1=C_2=0, C_3=1  \) - \(  \large (0,-1,0,0,0,1) \).

Итак, \(  \large \{\ (1,1,1,1,0,0); (-1,0,0,0,1,0); (0,-1,0,0,0,1) \}\  \) - фундаментальная система решений.
 

Оффлайн lin_al

  • Пользователь
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Re: Общее решение и фундаментальная система
« Ответ #3 : Октябрь 07, 2015, 09:25:38 pm »
Большое спасибо!!!