Автор Тема: Найти сумму ряда  (Прочитано 281 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Dima

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Найти сумму ряда
« : Сентябрь 28, 2015, 06:15:44 pm »
Найти сумму ряда.

\(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n 2n \cdot  x^{2n-1} \)


 

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 33
  • Поблагодарили: 20 раз(а)
    • Просмотр профиля
Найти сумму ряда
« Ответ #1 : Сентябрь 29, 2015, 05:06:03 pm »
Ряд сходится только при |x| < 1

Я нашел суммы для четырех значений икса:

\(  \large x=\pm 0.5 \) , получил  \(  \large S=\mp \frac{16}{25} \)

\(  \large x=\pm 0.8 \) , получил  \(  \large S=\mp \frac{1000}{1681} \)

Ну, и при нуле S=0.  Проанализировал числа и нашел аппроксимирующую формулу:

\(  \large -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \)

Это и есть ответ.

 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Найти сумму ряда
« Ответ #2 : Октябрь 01, 2015, 02:42:29 pm »
Avgust, а Вы не могли бы написать более подробно своё решение? Интересно, как Вы нашли формулу.  :)

Решим задачу аналитически. Известно, что \(  \large \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n=\frac{1}{1+x} \). Значит,

\(  \large \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}=\frac{1}{1+x^2} \) и \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n x^{2n}=\frac{1}{1+x^2}-1=\frac{1}{1+x^2}-1=S_n \).

Тогда

\(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n 2n \cdot x^{2n-1}= S_n'=((1+x^2)^{-1}-1)'=-1(1+x^2)^{-2}(1+x^2)'=-\frac{2x}{(1+x^2)^2} \).
 

Оффлайн Dima

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Найти сумму ряда
« Ответ #3 : Октябрь 01, 2015, 05:42:55 pm »
Admin, Avgust, спасибо вам за помощь.  :)