Автор Тема: Уравнение  (Прочитано 276 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Dima

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Уравнение
« : Сентябрь 27, 2015, 11:48:20 pm »
Помогите решить, пожалуйста!

\[  \large xy'+4y=2x+x^2 \]
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнение
« Ответ #1 : Сентябрь 28, 2015, 12:54:11 am »
Это линейное уравнение. Решите сначала уравнение \(  \large y'+\frac{4y}{x}=0 \).

Более подробно:

\(  \large y'+4 \frac{y}{x}=0  \)

\(  \large \frac{dy}{dx}+4 \frac{y}{x}=0  \)

\(  \large \frac{dy}{y}=-4\frac{dx}{x} \)

\(  \large \ln |y|=\ln e^{C_1}-4 \ln |x| \)

\(  \large \ln |y|=\ln e^{C_1}-4 \ln |x| \)

\(  \large y=\frac{C}{x^4}, \ C= \pm e^{C_1} \)

Общее решение исходного уравнения будем искать в виде \(  \large y=\frac{C(x)}{x^4} \). Так как \(  \large y'=\frac{C'(x)}{x^4}-4\frac{C(x)}{x^5} \), то исходное уравнение примет вид \(  \large \frac{C'(x)}{x^4}-4\frac{C(x)}{x^5}+4\frac{C(x)}{x^5}=2+x  \) или \(  \large \frac{dC(x)}{dx}=2x^4+x^5 \). Интегрируя его, находим \(  \large C(x)=\frac{2x^5}{5}+\frac{x^6}{6}+C \). Значит, \(  \large y=\frac{2x}{5}+\frac{x^2}{6}+\frac{C}{x^4} \) - общее решение уравнения \(  \large xy'+4y=2x+x^2 \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Dima

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Re: Уравнение
« Ответ #2 : Сентябрь 28, 2015, 03:19:12 pm »
Спасибо!
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнение
« Ответ #3 : Сентябрь 28, 2015, 03:31:43 pm »
Пожалуйста. Проверку решения можете сделать, подставив общее решение в исходное уравнение.