Автор Тема: Решить рекуррентное уравнение (соотношение) с начальными условиями  (Прочитано 2067 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн disk-retka

  • Пользователь
  • Сообщений: 2
    • Просмотр профиля
Найти частное решение рекуррентного уравнения: \(  \large f(n+4)-5 f(n+3) +f(n+2)+21 f(n+1)-18 f(n)=0, \\ f(0)=3, \ f(1)=f(2)=8, \ f(3)=38 \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Рекуррентное уравнение
« Ответ #1 : Сентябрь 21, 2015, 01:47:49 pm »
1) Составим и решим характеристическое уравнение:

\(  \large x^4-5x^3+x^2+21x-18=0 \ \Leftrightarrow \ (x-1)(x^3-4x^2-3x+18) \ \Leftrightarrow \ (x-1)(x+2)(x^2-6x+9) \ \Leftrightarrow  \) \(  \large (x-1)(x+2)(x-3)^2 \).

Корни многочленов \(  \large x^4-5x^3+x^2+21x-18 \) и \(  \large x^3-4x^2-3x+18  \) нашли среди целых делителей свободных членов. Следовательно, общее решение рекуррентного уравнения имеет вид \(  \large f(n) = C_1 (1)^n + C_2 (-2)^n + (C_3 +nC_4)(-3)^n \) или \(  \large f(n) = C_1 + C_2 (-2)^n + (C_3 +nC_4)(-3)^n \).

2) Используя начальные условия, составим систему уравнений для констант \(  \large C_i, \ i=1,2,3,4 \):

\(  \large \begin{cases} C_1+C_2+C_3 = 3 \\ C_1-2C_2-3C_3-3C_4=8 \\ C_1+4C_2+9C_3+18C_4=8 \\ C_1-8C_2-27C_3-81C_4=38 \end{cases} \).

Решая эту систему, получим: \(  \large C_1=\frac{27}{4}, \ C_2=-25, \ C_3=\frac{85}{4}, \ C_4=-5 \). Итак, \(  \large f(n)= \frac{27}{4}-25(-2)^n +\left( \frac{85}{4}  - 5n \right) (-3)^n \) - частное решение рекуррентного уравнения.
 
Сказали спасибо: cergo1

Оффлайн disk-retka

  • Пользователь
  • Сообщений: 2
    • Просмотр профиля
Re: Рекуррентное уравнение
« Ответ #2 : Сентябрь 21, 2015, 02:47:11 pm »
Cпасибо!
 

Оффлайн cutemoka

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Решить однородное рекуррентное уравнение с начальными условиями:

\(  \large x_{k+3}=4 x_{k+2} +11 x_{k+1}+6 x_k \), \(  \large x_0=2, \ x_1=13, \ x_2=70 \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Составим характеристическое уравнение:

\(  \large x^3=4x^2+11x+6 \).

Один корень находим среди целых делителей свободного члена: \(  \large x_1=-1 \).

Преобразуем характеристическое уравнение равносильным образом:

\(  \large x^3=4x^2+11x+6 \ \Leftrightarrow \ x^3-4x^2-11x-6=0 \ \Leftrightarrow \ x^3+x^2-5x^2-5x-6x-6=0 \ \Leftrightarrow   \)

\(  \large \Leftrightarrow \ x^2(x+1)-5x (x+1)-6(x+1)=0 \ \Leftrightarrow \ (x^2-5x-6)(x+1)=0 \).

Решая квадратное уравнение \(  \large x^2-5x-6=0 \), найдём оставшиеся два корня: \(  \large x_2=-1, \ x_3=6 \).

Итак, характеристическое уравнение имеет двукратный корень \(  \large x_0=-1  \) и однократный корень \(  \large x_0=6 \). Следовательно, \(  \large x_n=C_1 (-1)^n +C_2 n (-1)^n +C_3 6^n \) - общее решение рекуррентного уравнения. Осталось найти значения постоянных, используя начальные условия.
 

Оффлайн Egorenot

  • Пользователь
  • Сообщений: 21
    • Просмотр профиля
Найти последовательность \(  \large a_n  \), удовлетворяющую рекуррентному соотношению \(  \large a_{n+2}+10 a_{n+1}+25a_{n}=0  \) и начальным условиям \(  \large a_1=3, a_2=8  \).

Решить неоднородное уравнение \(  \large a_{n+1}-8a_n=2 \cdot 5^n  \) с начальным условием \(  \large a_0=7  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Составим и решим характеристическое уравнение для однородного рекуррентного уравнения \(  \large a_{n+1}-8a_n=0  \). Имеем:

\(  \large k-8=0 \Leftrightarrow k=8 \).

Следовательно, \(  \large a_n=C \cdot 8^n  \) - общее решение однородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Частное решение будем искать в виде \(  \large a_n=b \cdot 5^n  \). Тогда \(  \large a_{n+1}=5b \cdot 5^n  \). Значит,

\(  \large a_{n+1}-8 a_n=2 \cdot 5^n \Leftrightarrow 5b \cdot 5^n- 8b \cdot 5^n=2 \cdot 5^n \Leftrightarrow -3b =2 \Leftrightarrow b=-\frac{2}{3} \).

Следовательно, \(  \large a_n=C \cdot 8^n -\frac{2}{3} \cdot 5^n  \) - общее решение неоднородного уравнения.

Найдём частное решение неоднородного уравнения, используя начальное условие. Известно, что \(  \large a_0=7  \). Тогда

\(  \large 7=C \cdot 8^0 -\frac{2}{3} \cdot 5^0 \Leftrightarrow C=\frac{23}{3}  \).

Значит, \(  \large  a_n=\frac{23}{3} \cdot 8^n -\frac{2}{3} \cdot 5^n \) - частное решение неоднородного уравнения.
 
Сказали спасибо: phobos

Оффлайн phobos

  • Модератор
  • Сообщений: 95
  • Поблагодарили: 85 раз(а)
    • Просмотр профиля
\(  \large a_{n+2}=-{10}_{n+1}-25a_n,\ a_1=3,\ a_2=8.  \)

Составляем характеристическое уравнение \(  \large {\lambda }^2=-10\lambda -25  \), его корень \(  \large \lambda =-5  \). Тогда общая формула для \(  \large \large a_n  \) будет \(  \large a_n={\lambda }^n\left(C_1\left(n-1\right)+C_2\right)={\left(-5\right)}^n\left(C_1\left(n-1\right)+C_2\right)  \). Определяем постоянные \(  \large C_1,C_2  \). При \(  \large n=1  \) имеем \(  \large a_n=a_1=-5\left(C_1\left(1-1\right)+C_2\right)=-5C_2=3  \). При \(  \large n=2  \) имеем \(  \large {\left(-5\right)}^2\left(C_1\left(2-1\right)+C_2\right)=25\left(C_1+C_2\right)=25C_1+25C_2=8  \). Получаем систему уравнений:

\(  \large \begin{cases} -5C_{2}=3 \\ 25C_{1}+25C_{2}=8 \end{cases}\rightarrow \begin{cases} C_{1}=\frac{23}{25} \\ C_{2}=-\frac{3}{5} \end{cases} \)

Тогда \(  \large a_n={\left(-5\right)}^n\left(C_1\left(n-1\right)+C_2\right)={\left(-5\right)}^n\left({{23}\over {25}}\cdot \left(n-1\right)-{{3}\over {5}}\right)={\left(-5\right)}^n\left({{23n-38}\over {25}}\right).  \)
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн andrei12rus

  • Пользователь
  • Сообщений: 25
    • Просмотр профиля
Найти последовательность {an} , удовлетворяющую рекуррентному соотношению an+2-2an-1-8an=0  и начальным условиям a1=2, a2=8  .
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Составим и решим характеристическое уравнение:

\(  \large k^2-2k-8=0 \Leftrightarrow (k^2-2k+1)-9=0 \Leftrightarrow (k-1)^2 -3^2=0 \Leftrightarrow  \)

\(  \large \Leftrightarrow (k-1-3)(k-1+3)=0 \Leftrightarrow (k-4)(k+2)=0 \Leftrightarrow k_1=4 \vee k=-2  \).

Следовательно, общее решение рекуррентного уравнения имеет вид

\(  \large a_n=C_1 \cdot 4^n +C_2 \cdot (-2)^n  \).

Осталось найти константы \(  \large C_1  \) и \(  \large C_2  \), используя начальные условия.