Автор Тема: Как исследовать на сходимость числовой ряд?  (Прочитано 2630 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4910
  • Поблагодарили: 1565 раз(а)
    • Просмотр профиля
Теорема 1 (необходимое условие сходимости). Если ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится, то \( \lim\limits_{n \to \infty} a_n=0 \).

Теорема 2 (достаточное условие расходимости). Если \( \lim\limits_{n \to \infty} a_n \not=0 \), то ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) расходится.

Пример 1. Ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{3n+2} \) расходится, так как \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n+1}{3n+2}=\frac{2}{3} \).

Пример 2. Ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^3+1}{n^4+4} \) может как сходиться, так и расходиться, так как \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^3+1}{n^4+4}=0 \). В дальнейшем будет показано, что данный ряд расходится.

Замечание 1. Важно понимать, что из \( \lim\limits_{n \to \infty} a_n=0 \) не следует сходимость ряда  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \).

Положительные ряды

Теорема 3 (признак сравнения). Пусть для рядов \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) и \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) выполняются следующие условия:
1) \( (\forall n) (a_n >0 )(b_n>0) \);
2) \( (\exists k) (\forall n>k) (a_n \le b_n) \).
Тогда:
1) если \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) сходится, то \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится;
2) если \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) расходится, то \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) расходится.

Теорема 4 (предельный признак сравнения). Пусть для рядов \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) и \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) выполняются следующие условия:
1) \( \exists \lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=L \);
2) \( 0< L < + \infty \).
Тогда \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) и \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) сходятся и расходятся одновременно.

Определение 1. Геометрическим называется ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^{n-1} \), где \( a \not = 0 \).

Замечание 2. Геометрический ряд сходится при \( |q|<1 \) и расходится при \( |q| \ge 1 \).

Определение 2. Гармоническим называется ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \).

Замечание 3. Гармонический ряд расходится.

Определение 3. Обобщённым гармоническим (рядом Дирихле) называется ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \), где \( p>0 \).

Замечание 4. Ряд Дирихле сходится при \( p>1 \) и расходится при \( 0<p \le 1 \).

Замечание 5. Для исследования на сходимость числовые ряды часто сравнивают с геометрическим и обобщённым гармоническим рядами.

Замечание 6. Применяя признаки сравнения, часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательностей: \( \sin \frac{1}{n} \sim tg \ \frac{1}{n} \sim \arcsin \frac{1}{n} \sim arctg \ \frac{1}{n} \sim \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \sim \frac{1}{n} \).

Пример 3. Исследуем на сходимость ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2+ \sin n}{n} \). Так как \( \sin n \ge -1 \), \( 2 + \sin n \ge 1 \) и \( \frac{1}{n} \le \frac{2+\sin n}{n} \). Значит, ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2+ \sin n}{n} \) расходится, так как гармонический ряд расходится (признак сравнения).

Пример 4. Исследуем на сходимость ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^3+1}{n^4+4} \). Сравним его с расходящимся гармоническим рядом: \( \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n^3+1}{n^4+4} : \frac{1}{n} \right)=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^4+n}{n^4+4}=1 \), \( 0<1<+ \infty \). Согласно предельному признаку сравнения, ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^3+1}{n^4+4} \) расходится.

Теорема 5 (предельный признак Даламбера). Пусть для ряда \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) выполняются следующие условия:
1) \( (\forall n)(a_n >0) \);
2) \( \exists \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=L \).
Тогда:
1) если \( L<1 \), то \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) сходится;
2) если \( L>1 \), в том числе \( L=+ \infty \), то \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) расходится;
3) если \( L=1 \), то \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) сходится или расходится.

Пример 5. Исследуем на сходимость ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2} \), используя признак Даламбера. Имеем: \( \lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2^{n+1}}{(n+1)^2} : \frac{2^n}{n^2}=2 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+2n+1}=2>1 \). Следовательно, ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2} \) расходится.

Теорема 6 (предельный признак Коши). Пусть для ряда \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) выполняются следующие условия:
1) \( (\forall n)(a_n >0) \);
2) \( \exists \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=L \).
Тогда:
1) если \( L<1 \), то \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) сходится;
2) если \( L>1 \), в том числе \( L=+ \infty \), то \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) расходится;
3) если \( L=1 \), то \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) сходится или расходится.

Пример 6. Изучим вопрос о сходимости ряда \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+2}{2n+1} \right)^{3n+1} \). Используем признак Коши: \( \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n+2}{2n+1} \right)^{\frac{3n+1}{n}}=\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1+\frac{2}{n}}{2+\frac{1}{}} \right)^{\frac{3+\frac{1}{n}}{n}}=\left( \frac{1}{2} \right)^3=\frac{1}{8}<1 \). Значит, ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+2}{2n+1} \right)^{3n+1} \) сходится.

Теорема 7 (интегральный признак Коши-Маклорена). Пусть для ряда \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) выполняются следующие условия:
1) \( (\forall n) (a_n >0) \);
2) \(  \exists f(x) \), такая, что \( (\forall n) (f(n)=a_n) \), причём \( \forall x \in [1;+ \infty) \):
a) \( f(x)>0 \);
б) \( f(x) \) непрерывна;
в) \( x_2 > x_1 \  \Rightarrow \ f(x_2) < f(x_1) \).
Тогда ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) и несобственный интеграл \( \int\limits_{1}^{+ \infty} f(x)dx \) сходятся и расходятся одновременно.

Пример 7. Рассмотрим ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} \). Исследуем его на сходимость с помощью интегрального признака Коши-Маклорена. Существует такая функция \( f(x) \), что \( f(n)=\frac{1}{n \ln n} \), причём эта функция положительна и непрерывна \( \forall x \in [2; + \infty) \). Докажем, что \( x_2 > x_1 \  \Rightarrow \ f(x_2)<f(x_1) \) \( \forall x \in [2; + \infty) \). Имеем: \( x_2>x_1  \ \Rightarrow \ \ln x_2 > \ln x_1 \ \Rightarrow \ x_2 \ln x_2 > x_1 \ln x_1 \ \Rightarrow \ \frac{1}{x_2 \ln x_2} < \frac{1}{x_1 \ln x_1} \). Исследуем вопрос о сходимости несобственного интеграла: \( \int\limits_{2}^{+ \infty} \frac{dx}{x \ln x}=\lim\limits_{a \to + \infty} \int\limits_{2}^{a} \frac{dx}{x \ln x}=\lim\limits_{a \to \infty} \left( \ln|\ln x| \bigg|_2^a \right)=\lim\limits_{a \to \infty}  \ln \frac{\ln a}{\ln 2}= + \infty \). Значит, несобственный интеграл расходится, следовательно, и ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} \) расходится.

Знакопеременные ряды

Определение 4. Ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n| \).

Определение 5. Ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n| \) расходится.

Теорема 8. Пусть \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) - знакопеременный ряд. Если \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n| \) сходится, то \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится.

Пример 8. Пусть требуется исследовать на сходимость ряд  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{3^n} \). Используя предельный признак Даламбера исследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{3^{n+1}} : \frac{n}{3^n} \right)=\frac{1}{3} \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)=\frac{1}{3}<1 \). Значит, ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} \) сходится, следовательно, ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{3^n} \) сходится абсолютно.

Теорема 9 (признак Лейбница). Пусть для знакочередующегося ряда \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n \) выполняются следующие условия:
1) \( (\forall n) ( a_n > a_{n+1}) \);
2) \( \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 \).
Тогда ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n \) сходится.

Пример 9. Исследуем вопрос о сходимости ряда \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{2 \sqrt{n}-1} \). Сначала исследуем на сходимость ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{n}-1} \), используя предельный признак сравнения: \( \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2\sqrt{n}-1} : \frac{1}{\sqrt{n}} \right)=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2-\frac{1}{\sqrt{n}}}=\frac{1}{2} \). Так как ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \) расходится, то и \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{n}-1} \) расходится. Значит, ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{2 \sqrt{n}-1} \) не является абсолютно сходящимся. Исследуем его с помощью признака Лейбница. Имеем:
1) \( \frac{1}{2 \sqrt{n}-1}>\frac{1}{2 \sqrt{n+1}-1} \ \Leftrightarrow \ 2\sqrt{n+1}-1 > 2 \sqrt{n}-1 \ \Leftrightarrow \ n+1 > n \);
2) \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{n}-1}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}=0 \).
Следовательно, ряд \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{2 \sqrt{n}-1} \) сходится условно.
 
Сказали спасибо: Rush, nan2016, serg_moscow