Автор Тема: Доказать методом математической индукции  (Прочитано 698 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Derw

  • Пользователь
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9. Доказать, используя метод математической индукции.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #1 : Сентябрь 19, 2015, 01:27:40 pm »
Пусть \( n,n+1,n+2 \) - натуральные числа. Тогда \( S_n=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \).
При \( n=1 \) имеем: \( S_1=1^3+(1+1)^3+(1+2)^3=1+8+27=36 \). Доказано для \( n=1 \).
Предположим, что \( S_k=k^3+(k+1)^3+(k+2)^3 \ \vdots \ 9 \) при \( n=k \).
Докажем, что \( S_{k+1}=(k+1)^3+(k+2)^2+(k+3)^3 \ \vdots \ 9  \) при \( n=k+1 \) . Имеем: \( S_{k+1}=(k^3+3k^2+3k+1)+(k^3+6k^2+12k+8)+k^3+9(k^2+3k+3)=k^3+(k+1)^3+(k+2)^3+9(k^2+3k+3) \). Слагаемое \( 9(k^2+3k+3) \) делится на \( 9 \), слагаемое \( k^3+(k+1)^3+(k+2)^3 \) делится на \( 9 \) по предположению индукции. Следовательно, \( S_{k+1} \ \vdots \ 9 \), а значит, \( (\forall n \in \mathbb{N})(S_n \ \vdots \ 9) \).
 

Оффлайн Sadler42

  • Пользователь
  • Сообщений: 49
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #2 : Ноябрь 14, 2015, 06:24:38 pm »
Докажите тождество, используя метод метод математической индукции:

\(  \Large \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1- \frac{1}{9} \right) \cdots \left( 1 -\frac{1}{n^2} \right)=\frac{n+1}{2n} \ \left( \forall n \ge 2  \right) \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #3 : Ноябрь 15, 2015, 09:50:24 pm »
Пусть \(  \large n=2 \). Тогда, с одной стороны, \(  \large 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \). С другой стороны, \(  \large \frac{2+1}{2 \cdot 2}=\frac{3}{4} \). Тождество истинно.

Предположим, что при \(  \large n=k \) выполняется тождество \(  \Large \left(1- \frac{1}{4} \right) \left( 1 - \frac{1}{9}\right) \cdots \left(1- \frac{1}{k^2}  \right)=\frac{k+1}{2k} \).

Пусть \(  \large n=k+1  \). Докажем, что выполняется тождество

\(  \Large \left(1- \frac{1}{4} \right) \left( 1 - \frac{1}{9}\right) \cdots \left(1- \frac{1}{k^2}  \right) \left(1 - \frac{1}{(k+1)^2} \right)=\frac{(k+1)+1}{2(k+1)} \).

Так как, согласно предположению индукции, выполняется тождество

\(  \Large \left(1- \frac{1}{4} \right) \left( 1 - \frac{1}{9}\right) \cdots \left(1- \frac{1}{k^2}  \right)=\frac{k+1}{2k} \),

то

\(  \Large \left(1- \frac{1}{4} \right) \left( 1 - \frac{1}{9}\right) \cdots \left(1- \frac{1}{k^2}  \right) \left(1 - \frac{1}{(k+1)^2} \right)=\frac{k+1}{2k} \left(1 - \frac{1}{(k+1)^2} \right)=\frac{k+1}{2k} \cdot \frac{k^2+2k+1-1}{(k+1)^2} = \)

\(  \Large =\frac{k(k+2)(k+1)}{2k (k+1)^2}=\frac{k+2}{2k+2} \).

Итак, для \(  \large n=k+1 \) тождество доказано. Следовательно, оно выполняется \(  \large \left( \forall n \ge 2 \right) \).
 

Оффлайн Vlados

  • Пользователь
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #4 : Декабрь 17, 2015, 01:33:06 pm »
Докажите высказывание методом математической индукции:

\(  \large  1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n \cdot n!=(n+1)! -1 \ \forall n \in \mathbb{N}  \).

Помогите решить, или подскажите с чего начать. Заранее спасибо
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #5 : Декабрь 17, 2015, 02:14:07 pm »
Начать нужно с проверки истинности высказывания при \(  \large n=1 \).
И посмотрите внизу список похожих тем.
 

Оффлайн sasha

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #6 : Март 26, 2016, 05:23:41 pm »
Докажите методом математической индукции, что для любого натурального числа выполняется неравенство \(  \large 2^n>n \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #7 : Март 26, 2016, 06:00:35 pm »
Пусть \(  \large n=1 \). Тогда \(  \large 2^1>1 \). Неравенство выполняется.
Предположим, что неравенство \(  \large 2^n>n \) выполняется при \(  \large n=k \).
Пусть \(  \large n=k+1 \). Докажем, что \(  \large 2^{k+1}>k+1 \). Поскольку \(  \large 2^k>k \) (предположение индукции), то \(  \large 2^k+1>k+1 \). Учитывая, что \(  \large 2 \cdot 2^k> 2^k+1 \) (правда, это тоже надо доказывать по индукции), заключаем: \(  \large 2^{k+1}>k+1 \).
Следовательно, неравенство \(  \large 2^n>n \) выполняется для любого натурального числа \(  \large n \).
 
Сказали спасибо: sasha

Оффлайн sasha

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #8 : Март 29, 2016, 03:22:37 pm »
Спасибо. А как доказать 2 * 2^k> 2^k+1?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #9 : Март 29, 2016, 03:27:19 pm »
Спасибо.

Пожалуйста.

А как доказать 2 * 2^k> 2^k+1?

Неравенство равносильно \(  \large 2^k>1 \). Доказывается по индукции. Пример выше.
 
Сказали спасибо: sasha

Оффлайн grey

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #10 : Декабрь 05, 2016, 12:07:41 am »
Доказать методом математической индукции, что для любого натурального числа \(  \large n \ge 2  \) выполняется неравенство \(  \large 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}  \).
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 868
  • Поблагодарили: 651 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #11 : Декабрь 05, 2016, 01:21:28 am »
Предположение индукции S(n) > sqrt(n)
S(n+1) = S(n) + 1/sqrt(n+1) < sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) = (sqrt(n2+n) +1)/sqrt(n+1) > (n+1)/sqrt(n+1) = sqrt(n+1)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: grey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #12 : Декабрь 05, 2016, 09:14:52 pm »
Пусть \(  \large n=2  \). Тогда

\(  \large 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{2}  \).

Умножим обе части неравенства на \(  \large \sqrt{2}  \). Имеем:

\(  \large \sqrt{2} +1> 2 \Leftrightarrow \sqrt{2}>1  \).

Получили верное числовое равенство.

Пусть \(  \large n=k  \). Предположим, что выполняется неравенство

\(  \large 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k} \).

Наконец, положим \(  \large n=k+1  \). Нужно доказать, используя предположение индукции, что

\(  \large 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}   \).

Прибавим к обеим частям неравенства

\(  \large 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k} \)

положительное число \(  \large \frac{1}{\sqrt{k+1}}  \). Получим:

\(  \large 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \).

Учитывая свойства вещественных чисел, из последнего неравенства следует неравенство

\(  \large 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}   \),

если

\(  \large \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}  \).
 
Сказали спасибо: grey

Оффлайн grey

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #13 : Декабрь 05, 2016, 09:27:34 pm »
Спасибо! А последнее неравенство тоже нужно доказывать?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #14 : Декабрь 05, 2016, 09:28:18 pm »
Да, обязательно.
 

Оффлайн grey

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #15 : Декабрь 05, 2016, 09:33:20 pm »
А как это сделать? Тут корни такие.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Доказать методом математической индукции
« Ответ #16 : Декабрь 05, 2016, 09:40:58 pm »
Используйте тот факт, что \(  \large \sqrt{k+1}>0  \) для любого натурального числа \(  \large k  \). Умножьте обе части неравенства на это выражение, после чего неравенство заметно упростится.
 
Сказали спасибо: grey