Сначала некоторые предварительные рассуждения. Рассмотрим данное равенство. В правой его части \( \Large 2 + \sqrt{3} \), а в левой - квадратный корень из некоторого числа. Очевидно, что число под корнем равно \( \Large (2 + \sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3} \). Итак, \( \Large 7+4 \sqrt{3}=6+ 3 \sqrt{3}+ \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} \). Значит, \( \Large \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}=1+ \sqrt{3} \). Тогда должно выполняться равенство \( \Large (1+\sqrt{3})^3=10+6\sqrt{3} \). Проверим: \( \Large (1+\sqrt{3})^3=1^3+3\sqrt{3}+3 \cdot 3 + 3\sqrt{3}=10+6 \sqrt{3} \). Итак, \( \Large \sqrt{6+3\sqrt{3}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}=\sqrt{6+3\sqrt{3}+\sqrt[3]{1^3+3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}+ 3 \cdot 1 (\sqrt{3})^2+ (\sqrt{3})^3}}= \)
\( \Large =\sqrt{6 + 3 \sqrt{3}+\sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3}}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{2^2+2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}= \)
\( \large =\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3} \)
