Автор Тема: Иррациональности  (Прочитано 256 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Виктория

  • Пользователь
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
Иррациональности
« : Сентябрь 17, 2015, 01:10:29 pm »
Доказать, что \( \Large \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}+\sqrt[3]{10+6 \sqrt{3}}}=2+\sqrt{3} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Иррациональности
« Ответ #1 : Сентябрь 19, 2015, 04:24:09 pm »
Сначала некоторые предварительные рассуждения. Рассмотрим данное равенство. В правой его части \( \Large 2 + \sqrt{3} \), а в левой - квадратный корень из некоторого числа. Очевидно, что число под корнем равно \( \Large (2 + \sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3} \). Итак, \( \Large 7+4 \sqrt{3}=6+ 3 \sqrt{3}+ \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} \). Значит, \( \Large \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}=1+ \sqrt{3} \). Тогда должно выполняться равенство \( \Large (1+\sqrt{3})^3=10+6\sqrt{3} \). Проверим: \( \Large (1+\sqrt{3})^3=1^3+3\sqrt{3}+3 \cdot 3 + 3\sqrt{3}=10+6 \sqrt{3} \). Итак, \( \Large \sqrt{6+3\sqrt{3}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}=\sqrt{6+3\sqrt{3}+\sqrt[3]{1^3+3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}+ 3 \cdot 1 (\sqrt{3})^2+ (\sqrt{3})^3}}= \)

\( \Large =\sqrt{6 + 3 \sqrt{3}+\sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3}}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{2^2+2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}= \)

\(  \large =\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3} \)