Автор Тема: Задача на прогрессии  (Прочитано 262 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Виктория

  • Пользователь
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
Задача на прогрессии
« : Сентябрь 16, 2015, 04:05:03 pm »
Даны две геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1. Известно, что сумма вторых членов прогрессий равна 3, а сумма пятых членов равна 161. Найти сумму шестых членов прогрессий.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Задача на прогрессии
« Ответ #1 : Сентябрь 16, 2015, 11:00:28 pm »
Пусть \( x, \ y \) - знаменатели геометрических прогрессий. Тогда, согласно условию задачи, \(  \begin{cases} x+y=3 \\ x^4+y^4=161 \end{cases} \). Осталось решить эту систему.
 

Оффлайн Виктория

  • Пользователь
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
Re: Задача на прогрессии
« Ответ #2 : Сентябрь 17, 2015, 01:11:56 pm »
Спасибо. А не подскажете, как её решать?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Задача на прогрессии
« Ответ #3 : Сентябрь 19, 2015, 04:19:26 pm »
Так как \( (x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 \), то \( x^4+y^4=(x+y)^4-4xy(x+y)^2+2(xy)^2 \) и

\( \begin{cases} x+y=3 \\ x^4+y^4=161 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x+y=3 \\ (x+y)^4-4xy(x+y)^2+2(xy)^2-161=0 \end{cases}\Leftrightarrow \ \begin{cases} x+y=3 \\ (xy)^2-18(xy)-40=0 \end{cases}  \).

Второе уравнение системы можно свести к квадратному заменой переменной.