Задача на прогрессии

[Виктория]

Даны две геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1. Известно, что сумма вторых членов прогрессий равна 3, а сумма пятых членов равна 161. Найти сумму шестых членов прогрессий.

[Admin]

Пусть \( x, \ y \) - знаменатели геометрических прогрессий. Тогда, согласно условию задачи, \(  \begin{cases} x+y=3 \\ x^4+y^4=161 \end{cases} \). Осталось решить эту систему.

[Виктория]

Спасибо. А не подскажете, как её решать?

[Admin]

Так как \( (x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 \), то \( x^4+y^4=(x+y)^4-4xy(x+y)^2+2(xy)^2 \) и

\( \begin{cases} x+y=3 \\ x^4+y^4=161 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x+y=3 \\ (x+y)^4-4xy(x+y)^2+2(xy)^2-161=0 \end{cases}\Leftrightarrow \ \begin{cases} x+y=3 \\ (xy)^2-18(xy)-40=0 \end{cases}  \).

Второе уравнение системы можно свести к квадратному заменой переменной.