Автор Тема: Каноническое уравнение и график поверхности  (Прочитано 665 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
\(  \large 2x^2+y^2+3z^2+4xz+4xy=-1  \)
Пожалуйста, помогите))
Кое-что я уже решил, но не могу дойти до конца. Буду очень признателен.
\(  \large b = 2x^2+y^2+3z^2  \)
\(  \large A=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 2\\
2 & 1 & 0\\
2 & 0 & 3
\end{pmatrix}  \)
\(  \large X(\lambda )=\begin{vmatrix}
2-\lambda  & 2 & 2\\
2 & 1-\lambda  & 0\\
2 & 0 & 3-\lambda
\end{vmatrix}  \)=\(  \large -10-3\lambda +6\lambda ^2-\lambda ^3  \)
Собственные значения: \(  \large {\lambda }_{1}=-1, {\lambda }_{2}=2, {\lambda }_{3}=5  \)
Собственные векторы: \(  \large {X}_{1}=\begin{pmatrix}
-2\\
2\\
1
\end{pmatrix}{X}_{2}=\begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
2
\end{pmatrix} {X}_{3}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
2
\end{pmatrix} \)
\(  \large T=\begin{pmatrix}
\frac{-2}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3} & \frac{-2}{3} & \frac{1}{3}\\
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}  \)

Помогите написать каноническое уравнение и определить тип поверхности :'(
 

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
Каноническое уравнение и график поверхности
« Ответ #1 : Июнь 16, 2016, 02:14:49 pm »
Получил каноническое уравнение \(  \large -x^2+2y^2+5z^2=-1  \) - уравнение двуполостного гиперболоида, но не знаю как строить, кто поможет построить данную поверхность?
 

Онлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5196
  • Поблагодарили: 1580 раз(а)
    • Просмотр профиля
Каноническое уравнение и график поверхности
« Ответ #2 : Июнь 16, 2016, 04:35:31 pm »
не знаю как строить

Используйте метод параллельных сечений.
 

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
Каноническое уравнение и график поверхности
« Ответ #3 : Июнь 16, 2016, 04:41:23 pm »
Метод параллельных сечений? А какие еще есть методы, или есть только этот?
 

Онлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5196
  • Поблагодарили: 1580 раз(а)
    • Просмотр профиля
Каноническое уравнение и график поверхности
« Ответ #4 : Июнь 16, 2016, 04:47:14 pm »
А какие еще есть методы, или есть только этот?

Больше никак, наверное. Но вручную можно построить лишь приблизительно. Ещё с помощью какой-нибудь программы можно построить.
 

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
Каноническое уравнение и график поверхности
« Ответ #5 : Июнь 16, 2016, 06:58:32 pm »
А как строить используя метод параллельных сечений? Для моего случая?
 

Онлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5196
  • Поблагодарили: 1580 раз(а)
    • Просмотр профиля
Каноническое уравнение и график поверхности
« Ответ #6 : Июнь 16, 2016, 07:27:30 pm »
Положим, например, \(  \large x=2  \). Получим уравнение эллипса \(  \large 2y^2+5z^2=3  \). Чертим его...
 
Сказали спасибо: Hunafol

Онлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5196
  • Поблагодарили: 1580 раз(а)
    • Просмотр профиля
 

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
Не удается получить доступ к сайту

Не удается найти DNS-адрес сервера www.wolframalpha.com.
Всё уже работает.
 

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
Почему \(  \large x  \),а не \(  \large y  \) или \(  \large z  \)?
 

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
А почему надо чертить эллипс. Ведь двуполостный гиперболоид получается из гипербол
 

Онлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5196
  • Поблагодарили: 1580 раз(а)
    • Просмотр профиля
двуполостный гиперболоид получается из гипербол

Сечение одной из плоскостей - эллипс, двумя другими - гиперболы.
Тут нужно эллипс начертить, определить вершины, нарисовать "чашу". И ещё одну такую же чашу, симметрично первой.

Зайдите на  www.wolframalpha.com. Напишите там plot x^2-2y^2-5z^2=1
 
Сказали спасибо: Hunafol

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
Спасибо, попробую разобраться ;)
 

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
А какие вычисление мне надо произвести, чтобы произвести график?
То есть нужно найти в этом уравнении 1 эллипс и 2 гиперболы?
Эллипс получается, если, как Вы писали, при \(  \large x=2  \) \(  \large 2y^2+5z^2=3  \)
Первая Гипербола при \(  \large z=0  \) \(  \large x^2-2y^2=1   \)
Вторая гипербола при \(  \large y=0  \) \(  \large x^2-5z^2=1  \)?
 

Онлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5196
  • Поблагодарили: 1580 раз(а)
    • Просмотр профиля
Сейчас под рукой нет бумаги. Посмотрите книжку Атанасяна "Геометрия", учебник для педагогических вузов. Если не ошибаюсь, этот вопрос рассмотрен в первом томе.
 

Онлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5196
  • Поблагодарили: 1580 раз(а)
    • Просмотр профиля
Уточню. Смотрите учебник Антанасяна и Базылева "Геометрия". О гиперболоидах и о том, как построить гиперболоид, используя метод параллельных сечений, авторы книги пишут начиная с 230 страницы (издание 1986 года). Книжка есть в электронном виде.
 
Сказали спасибо: Hunafol

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
А как мне a, b, c получить?
 

Онлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5196
  • Поблагодарили: 1580 раз(а)
    • Просмотр профиля
\(  \Large  kx=\frac{x}{\frac{1}{k}}  \)
 
Сказали спасибо: Hunafol

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
То есть \(  \large a=1, b= \frac{1}{\sqrt 2}, c=\frac{1}{\sqrt 5}  \)?
 

Оффлайн Hunafol

  • Пользователь
  • Сообщений: 188
  • Поблагодарили: 4 раз(а)
    • Просмотр профиля
А вершина у нас получается \(  \large c  \)? То есть на оси OZ?
 

Онлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5196
  • Поблагодарили: 1580 раз(а)
    • Просмотр профиля
Чтобы найти координаты вершин, положите \(  \large y=z=0  \).
 
Сказали спасибо: Hunafol